第五章5.5.1第二课时两角和与差的正弦、余弦公式-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

第二课时　两角和与差的正弦、余弦公式 [学习目标]　1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式的方法．　2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．　3.能灵活运用两角和与差的正弦、余弦公式，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法． 授课提示：对应学生用书第171页 预习教材，思考问题 问题1　如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？ 问题2　如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？ 问题3　怎样由两角和的正弦公式得到两角差的正弦公式？　　　 [预习自测] 1．cos 75°的值为(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 解析：cos 75°＝cos (45°＋30°) ＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° ＝·－·＝. 答案：C 2．sin 72°cos 18°＋cos 72°sin 18°的值为(　　) A．1 B．0 C． D．－1 解析：原式＝sin (72°＋18°)＝sin 90°＝1. 答案：A 3．cos 74°sin 14°－sin 74°cos 14°＝________． 解析：原式＝sin (14°－74°)＝sin (－60°)＝－sin 60°＝－. 答案：－ 4．sin 75°的值为________． 解析：sin 75°＝sin (45°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30° ＝·＋·＝. 答案： 授课提示：对应学生用书第171页 　两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式 1. 两角和的余弦公式 cos (α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β 简记符号 C(α＋β) 使用条件 α，β都是任意角 记忆口诀：“余余正正，符号相反”． 2. 两角和的正弦 两角差的正弦 简记符号 S(α＋β) S(α－β) 公式形式 sin (α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β sin (α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β 记忆口诀：“正余余正，符号相同”． [例1]　判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　) (2)存在α，β∈R，使得sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　) (3)对于任意α，β∈R，sin (α－β)＝sin α－sin β都不成立．(　　) (4)sin 56°cos 26°－cos 56°sin 26°＝sin 30°.(　　) 分析：利用公式特点，采用特殊值等方法进行推理和判断． [解析]　(1)根据公式的推导过程可得． (2)当α＝30°，β＝0°时，sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立． (3)当α＝60°，β＝0°时，sin (α－β)＝sin α－sin β成立． (4)因为sin 56°cos 26°－cos 56°sin 26°＝sin (56°－26°)＝sin 30°，所以原式正确． [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 　1.要正确地识记公式结构． 2．两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”． (1)“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦． (2)“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“－”，两角差时用“＋”． 3．两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”． (1)“正余余正”表示展开后的两项分别为两角为正弦乘余弦、余弦乘正弦． (2)“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“＋”，两角差时用“－”． 　1.(多选)下面各式中，正确的是(　　) A．sin (＋)＝sin cos ＋cos B．cos ＝sin －cos cos C．cos (－)＝cos cos ＋ D．cos ＝cos －cos 解析：∵sin (＋)＝sin cos ＋cos sin ＝sin cos ＋cos ，∴A项正确； ∵cos ＝－cos ＝－cos (＋) ＝sin －cos cos ，∴B项正确； ∵cos (－)＝cos (－)＝cos ·cos ＋， ∴C项正确；∵cos ＝cos (－)≠cos －cos ∴D项不正确． 答案：ABC 　给角求值 [例2]　求下列各式的值． (1)sin 105°； (2)sin 50°cos 170°－cos 50°sin 170°； (3)sin 20°sin 40°－cos 20°cos 40°； (4)； (5)cos ＋sin . 分析：和