第五章5.4.3正切函数的性质与图象-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

5．4.3　正切函数的性质与图象 [学习目标]　1.理解并掌握正切函数的定义域、周期性、奇偶性．　2.会利用正切函数的定义及正切函数的性质作正切函数的图象．　3.了解“三点两线法”作正切函数的图象．　4.能够运用正切函数的图象和有关性质解决相关问题． 授课提示：对应学生用书第165页 预习教材，思考问题 问题1　根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的性质与图象？ 问题2　你能用不同的方法研究正切函数吗？　　　 [预习自测] 1．函数y＝tan x的周期为(　　) A．2π　　　　　　　　 B．π C． D．3π 解析：由tan (x＋π)＝tan x知， y＝tan x的周期为T＝π. 答案：B 2．满足tan x＞0的x取值范围为(　　) A．(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z B．(－＋kπ，kπ)，k∈Z C．(kπ，＋kπ)，k∈Z D．(0，)，k∈Z 解析：画出y＝tan x的图象，得不等式tan x＞0的解集为(kπ，kπ＋)，k∈Z. 答案：C 3．函数y＝tan x的定义域为________． 答案：(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z 4．下列命题正确的有________．(填序号) ①正切函数y＝tan x在其定义域上为增函数． ②正切函数y＝tan x的值域为R. ③正切函数y＝tan x为奇函数． ④tan x＝0的解集为{x|x＝2kπ，k∈Z}． 答案：②③ 授课提示：对应学生用书第165页 　正切函数的定义域、周期性 　正切函数y＝tan x的定义域为，周期为kπ，k∈Z且k≠0，最小正周期为π． [例1]　求函数y＝tan x的定义域、周期． 分析：利用正切函数的定义域与周期，通过整体代入可以得出相应的结论． [解]　函数y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z， x≠2k＋1，k∈Z， ∴函数的定义域为{x|x≠2k＋1，k∈Z}． 设z＝x，又tan (z＋π)＝tan z， 即tan (x＋π)＝tan x. 即tan [(x＋2)]＝tan x. ∵∀x∈{x|x≠2k＋1，k∈Z}，都有上式成立． ∴函数的周期为2. 　1.形如y＝A tan (ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域问题的求解方法：把“ωx＋φ”作为一个整体，令ωx＋φ≠kπ＋(k∈Z)，可得x的取值范围，即得函数的定义域． 2．一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的最小正周期为T＝，常利用此公式来求与正切函数有关的周期． 　1.(多选)下列命题正确的有(　　) A．函数y＝tan (5x－)的定义域为{x|x≠＋，k∈Z} B．函数y＝3tan (x－)的周期是4π C．函数y＝tan (6x＋)的定义域为{x|x∈R，x≠＋，k∈Z} D．函数y＝tan (－2x－)的周期为 解析：因为y＝tan (5x－)，则5x－≠kπ＋，k∈Z. 故x≠＋，k∈Z，A错误； 因为tan [(x＋2π)－]＝tan (x－)， 故函数y＝3tan (x－)的周期为T＝2π，B错误； 由6x＋≠kπ＋(k∈Z)， 得x≠＋(k∈Z)， 故该函数的定义域为，C正确； 因为tan [2(x＋)＋]＝tan (2x＋)， 故函数y＝tan (－2x－)＝－tan (2x＋)的周期为，D正确． 答案：CD 　正切函数的奇偶性 正切函数y＝tan x是奇函数． [例2]　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin x＋tan x；(2)f(x)＝. 分析：利用函数奇偶性定义判断． [解]　(1)f(x)的定义域为，关于原点对称． 因为f(－x)＝sin (－x)＋tan (－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)， 所以函数f(x)＝sin x＋tan x是奇函数． (2)函数的定义域为{x|x≠kπ＋，且x≠π＋2kπ，k∈Z}，关于原点对称． 因为f(－x)＝＝＝－f(x). 所以y＝f(x)是奇函数． 　紧扣奇函数、偶函数的定义解决问题，特别要注意正切函数的定义域． 　2.已知函数f(x)＝x＋tan x＋1，若f(a)＝2，则f(－a)＝(　　) A．0　　　　　　　 B．－1 C．－2 D．3 解析：设g(x)＝x＋tan x，显然函数g(x)为奇函数． 因为f(a)＝g(a)＋1＝2，所以g(a)＝1， 所以f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝0. 答案：A 　正切函数的图象 函数y＝tan x，x∈(－，)的图象如图所示． [例3]　利用正切函数图象求解不等式tan x≥. 分析：画出y＝tan x的图象以及直线y＝，观察图象得出结论． [解]　在同一平面直角坐标系中作出正切函数在(－，)上的图象和直线y＝，如图所示， 显然在(－，)上，x＝满足tan x＝. 由图象