第五章5.4.2第一课时周期性与奇偶性-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

5．4.2　正弦函数、余弦函数的性质 第一课时　周期性与奇偶性 [学习目标]　1.了解周期函数与最小正周期的意义．　2.会利用周期性的定义和诱导公式求三角函数的周期．　3.会判断三角函数的奇偶性． 授课提示：对应学生用书第156页 预习教材，思考问题 问题1　正弦函数y＝sin x是周期函数吗？余弦函数y＝cos x是周期函数吗？若是，最小正周期是多少？ 问题2　函数y＝sin x和y＝cos x的奇偶性如何？　　　 [预习自测] 1．若函数f(x)的周期为3，且f(1)＝－2，则f(7)为(　　) A．1　　　　　　　　　 B．－1 C．2 D．－2 解析：f(7)＝f(4＋3)＝f(4)＝f(1＋3)＝f(1)＝－2. 答案：D 2．函数y＝2sin x，y＝cos x的周期分别为(　　) A．π，π B．2π，2π C．－π，－π D．， 解析：∀x∈R，有2sin (x＋2π)＝2sin x，cos (x＋2π)＝cos x，由周期函数的定义可知，函数y＝2sin x，y＝cos x 的周期均为2π. 答案：B 3．函数y＝－sin x是________．(填奇偶性) 解析：∀x∈R，有－x∈R，f(－x)＝－sin (－x)＝－(－sin x)＝－f(x)， 故原函数为奇函数． 答案：奇函数 4．函数y＝1＋cos x是________．(填奇偶性) 解析：∀x∈R，有－x∈R， f(－x)＝1＋cos (－x)＝1＋cos x＝f(x)， 故原函数为偶函数． 答案：偶函数 授课提示：对应学生用书第156页 　周期函数的定义 1．周期函数 条件 ①对于函数f(x)，存在一个非零常数T ②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x) 结论 函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期 2.最小正周期 条件 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数 结论 这个最小正数叫做f(x)的最小正周期 [例1]　设函数f(x)(x∈R)是以2为最小正周期的周期函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝(x－1)2.求f(3.1)，f()的值． 分析：根据周期函数的定义，将所求函数值转化为已知区间上的函数值． [解]　f(3.1)＝f(1.1＋2)＝f(1.1)＝(1.1－1)2＝0.01， f()＝f(＋2)＝f()＝f(＋2)＝f()＝(－1)2＝. 　1.由周期函数的定义，将所求函数值转化到已知区间内，再代入函数解析式求解． 2．T是函数f(x)的周期，可以证明kT(k∈Z，k≠0)也是函数f(x)的周期． 　1.设函数f(x)(x∈R)是以4为最小正周期的周期函数，且当x∈[0，4]时，f(x)＝x，求f(7)，f()的值． 解：f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝3＝. f()＝f(＋4)＝f()＝()＝. 　正弦函数、余弦函数的周期性 正弦函数f(x)＝sin x和余弦函数f(x)＝cos x都是周期函数(k∈Z且k≠0). 三角函数 所有周期 最小正周期 f(x)＝sin x 2kπ，k∈Z且k≠0 2π f(x)＝cos x 2kπ，k∈Z且k≠0 2π [例2]　分别求下列三角函数的最小正周期． (1)y＝sin x；(2)y＝cos 4x； (3)y＝2sin (2x＋). 分析：采用整体思想，利用换元法，从正弦函数、余弦函数的周期入手，再通过代数变形，利用周期函数的定义求得． [解]　(1)∀x∈R，有sin (x＋2π)＝sin x， 由周期函数的定义可知，原函数的一个周期为2π，且为最小正周期． (2)令z＝4x，∀x∈R，得z∈R，且y＝cos z的周期为2π，即cos (z＋2π)＝cos z，于是cos (4x＋2π)＝cos 4x，所以cos 4(x＋)＝cos 4x，x∈R. 由周期函数的定义可知，原函数的一个周期为，且为最小正周期． (3)令z＝2x＋，由2sin (z＋2π)＝2sin z， 于是2sin (2x＋＋2π)＝2sin (2x＋)， 即2sin [2(x＋π)＋]＝2sin (2x＋)， 令y＝f(x)，则f(x＋π)＝f(x)，由周期函数的定义可知， 原函数的一个周期为π，且为最小正周期． 　求三角函数周期的最基本方法 定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数． 　2.求函数f(x)＝cos (2x＋)的最小正周期． 解：∵f(x)＝cos (2x＋) ＝cos (2x＋＋2π) ＝cos [2(x＋π)＋] ＝f(x＋π)， 即f(x＋π)＝f(x)， ∴函数f(x)＝cos (2x＋)的最小正周期T＝π. 　正弦