第五章5.4.2第三课时单调性与最值-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

第三课时　单调性与最值 [学习目标]　1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化规律，通过一个周期内的单调性进而研究在整个定义域上的性质．　2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小．　3.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．　4.会求函数y＝A sin (ωx＋φ)及y＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)的单调区间． 授课提示：对应学生用书第162页 问题1　函数y＝sin x在区间[－，]和[，π]上的单调性如何？如何利用周期性，把单调性推广到整个定义域？ 问题2　函数y＝cos x在[0，π]和[π，2π]上的单调性如何？如何利用周期性，把单调性推广到整个定义域？ 问题3　y＝sin x与y＝cos x取得最大(小)值时相应的自变量的取值集合如何？ 问题4　函数y＝A sin (ωx＋φ)(Aω≠0)的单调性和最值问题，如何求解？　　　 [预习自测] 1．函数y＝cos x在[0，2π]上的单调递减区间为(　　) A．[，]　　　　　　 B．[，π] C．[0，π] D．[π，2π] 答案：C 2．(多选)下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是(　　) A．[0，] B．[，] C．[－，] D．[，2π] 解析：y＝sin x在[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)的每一个区间上递增． 答案：ACD 3．设M和m分别是函数y＝cos x－1的最大值和最小值，则M＋m＝________． 解析：∵cos x∈[－1，1]， ∴M＝×1－1＝－，m＝×(－1)－1＝－， ∴M＋m＝－－＝－2. 答案：－2 4．函数y＝2sin (2x－)在x＝________时有最大值． 解析：∵2x－＝2kπ＋(k∈Z)， ∴x＝kπ＋(k∈Z). 答案：kπ＋(k∈Z) 授课提示：对应学生用书第162页 　正弦函数、余弦函数的单调性 解析式 y＝sin x y＝cos x 图象 单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z上单调递增，在[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增，在[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z上单调递减 [例1]　(1)求函数y＝cos 2x的单调区间； (2)求函数y＝3sin (－2x)的单调递减区间； (3)求y＝2sin (x－)，x∈[－π，0]的单调递增区间． 分析：(1)将2x看作一个整体z，通过求y＝cos z的单调区间而求出原函数的单调区间． (2)因为y＝3sin (－2x)＝－3sin (2x－)， 所以将2x－看作一个整体t，求y＝－3sin (2x－)的单调递减区间即求函数y＝3sin t的单调递增区间． (3)将x－看作一个整体z，通过求y＝2sin z的单调递增区间，再与[－π，0]求交集，即为所求的单调递增区间． [解]　(1)令2x＝z， 由－π＋2kπ≤z≤2kπ(k∈Z)，得－π＋2kπ≤2x≤2kπ(k∈Z)， 解得－＋kπ≤x≤kπ(k∈Z). 由2kπ≤z≤π＋2kπ(k∈Z)，得2kπ≤2x≤π＋2kπ(k∈Z)， 解得kπ≤x≤＋kπ(k∈Z). 所以y＝cos 2x的单调递增区间为[－＋kπ，kπ](k∈Z)，单调递减区间为[kπ，＋kπ](k∈Z). (2)∵y＝3sin (－2x)＝－3sin (2x－)， 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ， 即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， ∴函数y＝3sin (－2x)的单调递减区间为[－＋kπ，＋kπ](k∈Z). (3)令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)， 解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z). 又－π≤x≤0，∴－≤x≤0. 故y＝2sin (x－)，x∈[－π，0]的单调递增区间为[－，0]. 　求与正、余弦函数有关的单调区间的策略 1．结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． 2．在求形如y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝A cos (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间同上． 3．(1)ω＜0时，一般用诱导公式转化为－ω＞0后求解； (2)若A＜0，则单调性相反． 4．求限定范围的单调区间问题，可以先整体考虑，再与限定区间求交集，从而解决问题． 　1.求函数y＝sin (－x)，x∈[0，π]的单调递增区间． 解：y＝sin (－x)＝－sin (x－)， 由＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，即＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z. 又x∈[0，π]，故≤x≤π. 即单调递增