第三章3.1.1第二课时函数的定义域和值域-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

第二课时　函数的定义域和值域 [学习目标]　1.能求简单函数的定义域．　2.会求简单函数的函数值和值域． 授课提示：对应学生用书第50页 预习教材，思考问题 问题1　所有数的集合都可以用区间表示吗？区间在数轴上如何表示？ 问题2　求函数的定义域有几个步骤？ 问题3　f(x)与f(a)有何区别与联系？ 问题4　求函数的值域有哪些方法？　　　 [预习自测] 1．集合{x|－1≤x<5，且x≠3}用区间表示为(　　) A．[－1，3)∪(3，5) B．[－1，3)∩(3，5) C．(－1，3)∪(3，5) D．[－1，3) 答案：A 2．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　) A.y＝　　　　　　 B．y＝ C．y＝ D．y＝x2＋x＋1 答案：B 3．已知函数f(x)＝，则f(4)＝________；已知f(x)＝2，则x＝________． 答案：－3　14 4．函数f(x)＝＋的定义域为________． 解析：使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥－3}，使分式有意义的实数x的集合是{x|x≠－2}．所以，这个函数的定义域是{x|x≥－3，且x≠－2}，即[－3，－2)∪(－2，＋∞). 答案：[－3，－2)∪(－2，＋∞) 授课提示：对应学生用书第50页 　区间的概念 集合表示 区间表示 数轴表示 {x|a≤x≤b} [a，b] {x|a<x<b} (a，b) {x|a≤x<b} [a，b) {x|a<x≤b} (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤b} (－∞，b] {x|x<b} (－∞，b) [例1]　(1)若A＝(1，＋∞)，B＝(－∞，2]，则A∩B＝________，∁RA＝________． (2)集合{x|－1<x<1，或2≤x<6}用区间表示为________． [答案]　(1)(1，2]　(－∞，1] (2)(－1，1)∪[2，6) 　1.区间的“开”“闭”问题：“开”用小括号，“闭”用中括号；在数轴上，用实心点表示包括区间的端点，空心点表示不包括区间的端点． 2．“∞”是一个符号，而不是一个数，因而它不具备数的一些性质和运算法则． 以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号． 3．区间只是集合的一种表示形式，因此对于集合的“交、并、补”运算仍然成立． 　1.集合{x|2≤x<5}用区间表示为________；集合{x|x≤－1，或3<x<4}用区间表示为________． 答案：[2，5)　(－∞，－1]∪(3，4) 　函数的定义域 　函数的定义域是使函数有意义的所有自变量的集合；若函数的解析式是由两个或两个以上式子的和、差、积、商构成的，则其定义域是使每个式子有意义的自变量取值的公共部分的集合． [例2]　(1)求函数f(x)＝的定义域； (2)求y＝的定义域； (3)若函数f(x)的定义域为(－1，2)，求函数f(2x＋1)的定义域． 分析：(1)f(x)是分式，且分母是偶次根式，其定义域是使根号内的式子大于0的实数集合． (2)(x＋1)0有意义的x的取值范围是{x∈R|x＋1≠0}，有意义的x的取值范围为x∈R，但是作为分母，不能为0. (3)f(x)的定义域为(－1，2)，即x的取值范围为(－1，2). f(2x＋1)中x的取值范围(定义域)可由2x＋1∈(－1，2)求得． [解]　(1)要使函数有意义，即x2－2x－3>0， 解不等式得x<－1或x>3， 函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞). (2)由题意得即 故所求函数的定义域为. (3)由－1<2x＋1<2，得－1<x<， 故f(2x＋1)的定义域为(－1，)． 　求函数的定义域遵循的原则 1．f(x)是整式时，定义域是全体实数的集合． 2．f(x)是分式时，定义域是使分母不为0的一切实数的集合． 3．f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值的实数的集合． 4．零(负)指数幂的底数不能为零． 5．如果函数是由一些简单函数通过四则运算构成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集． 6．由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合实际问题的意义． 　2.(1)函数y＝的定义域是(　　) A．{x|x＞0} B．{x|x＜0} C．{x|x＜0，且x≠－1} D．{x|x≠0，且x≠－1} (2)函数f(x)＝＋的定义域为__________； (3)若函数y＝f(x)的定义域是(－1，4)，则函数y＝f(x2－1)的定义域为__________． 解析：(1)∵ ∴ ∴ (2)⇒⇒1<x≤4， ∴函数的定义域为(1，4]. (3)由－1<x2－1<4，得0<x2<5，即－