第三章3.1.2第一课时函数的表示法-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

3．1.2　函数的表示法 第一课时　函数的表示法 [学习目标]　掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点，会根据不同的需要选择恰当的方法，学会数学抽象． 授课提示：对应学生用书第52页 预习教材，思考问题 问题1　初中学过哪几种表示函数的方法？ 问题2　任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？ 问题3　函数的图象一定是连续的曲线吗？　　　 [预习自测] 1．函数y＝的图象大致形状是(　　) 解析：x>0时，y＝＝x；x<0时，y＝＝－x. 答案：A 2．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(4))＝________． x 1 2 3 4 y 3 2 4 1 解析：f(f(4))＝f(1)＝3. 答案：3 3．已知一次函数f(x)满足f(－1)＝0，f(0)＝－2，则f(x)的解析式为________． 答案：f(x)＝－2x－2 4．苹果的单价是2元/个，买x(x∈{3，4，5，6，7})个苹果需要y元，试用函数的解析法表示函数，即y＝________． 解析：y＝2x，x∈{3，4，5，6，7}． 答案：2x，x∈{3，4，5，6，7} 授课提示：对应学生用书第52页 　解析法 1．用解析式表示两个变量之间的对应关系的方法叫解析法． 2．初中学习的正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数都是用解析法来表示的． [例1]　根据下列条件，求函数f(x)的解析式． (1)f(x)是二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)； (2)f(2x＋1)＝6x＋5，求f(x)； (3)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x). 分析：(1)已知函数的类型，可以利用待定系数法求函数解析式．f(x)是二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). (2)如果把2x＋1看成一个整体t，求函数f(x)的解析式，可以使用换元法． (3)已知两个未知数f(x)和f(－x)的一个等式，根据解方程的思想，只要再寻找出关于未知数f(x)和f(－x)的另一个等式即可通过解方程组把f(x)用x表示出来． [解]　(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x， 得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2x2－4x， 即2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x， ∴⇒ ∴f(x)＝x2－2x－1. (2)法一(换元法)：设2x＋1＝t，则x＝， ∴f(t)＝6·＋5＝3t＋2， ∴f(x)＝3x＋2. 法二(配凑法)：f(2x＋1)＝6x＋5＝3(2x＋1)＋2， ∴f(x)＝3x＋2. (3)∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x， 将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x， 联立以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x， 即f(x)＝x2－2x. 　1.求函数解析式的常用方法 (1)配凑法：已知条件f(g(x))＝F(x)，可先将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后用x替代g(x)，便得f(x)的表达式． (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，则可用待定系数法． (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (4)解方程组法：已知关于f(x)与f()或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 2．解析法的优点和缺点 优点：简明、全面地概括了变量之间的关系，且利用解析式可求任一自变量对应的函数值． 缺点：不够形象直观，而且并不是所有函数都有解析式． 　1.(1)若f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，则f(x)＝__________； (2)已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，则f(x)＝__________； (3)若函数f(x)满足方程2f(x)＋f()＝2x，x∈R且x≠0，则f(x)＝__________； (4)已知函数f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________． 解析：(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0). 由3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9， 得3[a(x＋1)＋b]－(ax＋b)＝2x＋9， 即2ax＋3a＋2b＝2x＋9， ∴ 解得a＝1，b＝3， ∴f(x)＝x＋3. (2)设x＋1＝t，则x＝t－1， f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，即f(t)＝t2＋2t－2， ∴f(x)＝x2＋2x－2. (3)将x换成得2f()＋f(x)＝(x≠0)， 由 得f(x)＝x－(x∈R且x≠0). (4)法一(换元法)：令t＝＋1，则x＝(t－1)2，t≥1. 所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2