第三章3.1.1第一课时函数概念辨析-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

　　十九世纪，人们对于函数的研究有了很大进步.1821年，柯西从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数．”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析式．不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限.1822年傅立叶发现某些函数可以用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次.1837年狄利克雷突破了这一局限，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数．”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受．这就是人们常说的经典函数定义． 　　《函数的概念与性质》是高中数学中非常重要的内容．在本章中，函数形式抽象、性质变化多，对同学们的学习而言有一定的挑战性． 学好本章内容，可以从以下几个方面入手： 一是重视函数概念的深刻理解．通过对比初中函数的概念，从不同角度体会函数概念；通过联系生活实例，体会函数在实际生活中的应用；通过探寻函数发展的历程，加深对函数概念的理解． 二是重视函数性质的应用．牢记一次函数、二次函数、反比例函数的图象，借助熟悉的图象去理解函数的单调性、奇偶性等性质．另外还要关注函数图象的有关变换，体会数形结合的特征与方法． 三是重视转化与化归思想的应用．函数性质的应用变化多，所以在解决不熟悉的问题时要有转化与化归的意识，尽可能把未知化为已知、把陌生问题转化为熟悉问题．另外还要注意特殊化思想、构造思想的应用． 3．1　函数的概念及其表示 3．1.1　函数的概念 第一课时　函数概念辨析 [学习目标]　1.通过丰富的具体实例，学习用集合语言与对应关系来刻画函数的概念，建立完整的函数概念．　2.了解构成函数的三要素． 授课提示：对应学生用书第47页 预习教材，思考问题 问题1　函数的定义是什么？ 问题2　初中学习的正比例函数y＝kx(k≠0)、反比例函数y＝(k≠0)、一次函数y＝ax＋b(a≠0)、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都有解析式，函数中对应关系f一定是解析式吗？这些函数又有什么共同特征？ 问题3　y＝x中x与y的对应关系，和y＝中x与y的对应关系相同吗？判定两个函数是同一个函数的条件是什么？ 问题4　有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？　　　 [预习自测] 1．下列各图中，可表示函数y＝f(x)的图象的是(　　) 解析：由函数的定义可知，对定义域内的任意一个变量x，都存在唯一确定的函数值y与之对应．A中，当x＝0时，有两个y值与x对应；B中，当x>0时，有两个y值与x对应；C中，当x＝0时，有两个y值与x对应；D中，对任意x都只有唯一确定的y值与之对应． 答案：D 2．设集合M＝{x|0≤x≤2}，集合N＝{y|0≤y≤2}，给出下面四个图形(如图所示)，其中能表示集合M到N的函数关系的个数是(　　) A．0　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析：图(1)，M中的满足1<x≤2的实数在集合N中没有和它对应的数，不符合函数的定义；图(2)，定义域、值域及对应关系都是符合的；图(3)，显然不符合函数的定义；图(4)，在M中0<x≤2上任给一个元素，在集合N中有两个元素和它对应，因此不唯一．故只有图(2)正确． 答案：B 3．集合A，B与对应关系f如图所示： f：A→B是否为从集合A到集合B的函数？________． 如果是，那么定义域、值域分别是________，________． 答案：是　{1，2，3，4，5}　{2，3，4，5} 4．根据函数定义判断：y＝x与y＝________(“是”或“不是”)相同的函数． 答案：不是 授课提示：对应学生用书第47页 　函数的概念 1．一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 2．函数的四个特性：非空性、任意性、唯一性、方向性． 3．函数的三要素：定义域、对应关系、值域． [例1]　(1)(多选)下列对应是集合A到集合B上的函数的是(　　) A．A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x| B．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2 C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ D．A＝{x|－1≤x≤1}，B＝