第二章2.1第一课时不等关系与不等式-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

　　公元前6世纪末，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项、几何中项以及调和中项，但没有进行大小比较，只是研究过部分中项的几何作图以及它们的数量关系． 公元前2世纪，芝诺多罗斯获得与基本不等式等价的结果《论等周图形》． 公元3世纪初，三国时期的吴国人赵爽在研究勾股定理设计的弦图中，能形象地构建出基本不等式． 　　一元二次函数、方程和不等式主要内容有不等式性质、基本不等式、一元二次不等式，这是进一步学习数学知识的基础和工具，也是高考的重点． 不等式性质的考查经常与充要条件结合，对基本不等式的考查主要是利用基本不等式求最值，对二次函数与一元二次方程、不等式的考查主要是一元二次不等式求解和恒成立问题．每年高考对一元二次函数、方程和不等式的考查有1～2题，以选择题、填空题为主，解答题中一般作为中间步骤出现． 2．1　等式性质与不等式性质 第一课时　不等关系与不等式 [学习目标]　1.通过实例理解不等式的概念，能用不等式或不等式组表示不等关系．　2.掌握两个实数大小比较的基本事实．　3.会用作差法比较两个代数式的大小，并了解“糖水不等式”模型． 授课提示：对应学生用书第27页 预习教材，思考问题 问题1　我们可以用方程(组)表示等量关系，你会用不等式(组)表示不等关系吗？ 问题2　两个实数a，b大小比较的基本事实是什么？ 问题3　作差法比较两个代数式大小的步骤是什么？ 问题4　你知道“糖水不等式”吗？　　　 [预习自测] 1．下面列出的不等式中，正确的是(　　) A．a不是负数，可表示成a＞0 B．x不大于3，可表示成x<3 C．m与4的差是负数，可表示成m－4<0 D．x与2的和是非负数，可表示成x＋2>0 解析：a不是负数，表示为a≥0，故A不正确；x不大于3，表示为x≤3，故B不正确；m与4的差是负数，表示为m－4＜0，故C正确；x与2的和是非负数，表示成x＋2≥0，故D不正确． 答案：C 2．某高速公路对行驶的各种车辆的速度v的最大限速为120 km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m．用不等式(组)表示为(　　) A．v≤120 km/h　　　　　　 B．d≥10 m C．v≤120 km/h或d≥10 m D． 解析：据题设v≤120 km/h，d≥10 m，且两条件应同时满足． 答案：D 3．已知a2－b≥0，则a2与b的大小关系是________． 解析：由实数大小比较的基本事实可得a2≥b. 答案：a2≥b 4．用“>”或“<”填空： (x－1)(x－3)________x(x－4). 解析：∵(x－1)(x－3)－x(x－4)＝x2－4x＋3－x2＋4x＝3＞0， ∴(x－1)(x－3)＞x(x－4). 答案：> 授课提示：对应学生用书第27页 　不等关系的表示 将实际的不等关系写成对应的不等式时，应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换，这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系． [例1]　某单位在对一个长为100 m、宽为60 m的草坪进行绿化时，是这样设想的：中间为矩形绿草坪，四周为等宽的花坛，如图所示，若把花坛的宽度设为x m，怎样用不等式表示绿草坪的面积不小于总面积的二分之一？ 分析：题审清题意，设出适当变量表示不等关系． [解]　因为花坛宽度为x m，则矩形绿草坪的长为(100－2x)m，宽为(60－2x)m，于是绿草坪的面积为(100－2x)·(60－2x)m2，所以不等关系“绿草坪的面积不小于总面积的二分之一”可以用不等式表示为(100－2x)(60－2x)≥. [例2]　已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表： 食物 甲 乙 维生素A/(单位/kg) 600 700 维生素B/(单位/kg) 800 400 设用甲、乙两种食物各x kg，y kg配成混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单位维生素B. 试用不等式表示x，y所满足的不等关系． 分析：题首先搞清楚x和y的关系，再列出相应的不等式． [解]　x kg甲种食物含有维生素A 600x单位，含有维生素B 800x单位，y kg乙种食物含有维生素A 700y单位，含有维生素B 400y单位，则x kg甲种食物与y kg乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x＋700y)单位，含有维生素B(800x＋400y)单位，则有 即 　1.常见的文字语言与数学符号之间的对应关系如下： 2.在用不等式表示不等关系时，应特别注意能否取等号，例如表示“超过”或“不足”时，都不能取等号，而表示“不超过”或“不少于”时，则包含相等的情况，应该取等号． 　1.一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是