第二章2.1第二课时等式性质与不等式性质-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

第二课时　等式性质与不等式性质 [学习目标]　1.梳理等式的性质，类比猜想得到不等式的性质．　2.能利用不等式性质证明简单的不等式．　3.能利用不等式性质求代数式的取值范围． 授课提示：对应学生用书第30页 预习教材，思考问题 问题1　请梳理等式的有关性质，并且归纳一下发现等式基本性质的方法． 问题2　在初中你学过不等式的哪些性质？它们与等式哪些性质相对应？ 问题3　类比等式的其他性质，你还能得到不等式的哪些性质？ 问题4　证明不等式或求代数式取值范围时，你认为要注意什么？　　　 [预习自测] 1．下列运用等式的性质变形不正确的是(　　) A．若x＝y，则x＋5＝y＋5 B．若a＝b，则ac＝bc C．若＝，则a＝b D．若x＝y，则＝ 解析：D选项中，若a＝0，结论无意义． 答案：D 2．(多选)若a＞b，则下列各式不正确的是(　　) A．a－2＞b－2　　　　 B．2－a＞2－b C．－2a＞－2b D．a2＞b2 解析：A.若a＞b，则a－2＞b－2，正确；B.若a＞b，则－a＜－b，则2－a＜2－b，不正确；C.若a＞b，则－2a＜－2b，不正确；D.若a＝1，b＝－2，a＞b，但a2＝1，b2＝4，a2＜b2，不正确． 答案：BCD 3．若a＞b，c＜d，则a－c________b－d(用“>”或“<”填空). 解析：因为c＜d，所以－c＞－d. 又因为a＞b，所以a－c＞b－d. 答案：> 4．已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，则2a＋b的取值范围为__________． 解析：∵2＜a＜3，∴4＜2a＜6， 又－2＜b＜－1， ∴2＜2a＋b＜5. 答案：2<2a＋b<5 授课提示：对应学生用书第31页 　不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a＞b⇔b＜a 可逆 2 传递性 a＞b，b＞c⇒a＞c 不可逆 3 可加性 a＞b⇔a＋c＞b＋c 可逆 4 可乘性 ⇒ac＞bc c的符号 ⇒ac＜bc 5 同向可加性 ⇒a＋c＞b＋d 同向 6 同向同正可乘性 ⇒ac＞bd 同向 续表 性质 别名 性质内容 注意 7 乘方法则 a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2) 同正 8 开方法则 a＞b＞0，n∈N，n≥2⇒＞ 同向 9 倒数法则 当ab＞0时，a＞b⇔＜ 可逆 10 真分数法则 若a＞b＞0，m＞0，则<；>(b－m>0) 11 假分数法则 若a＞b＞0，m＞0，则>；<(b－m>0) 注：9，10，11是补充的常用结论． [例1]　(1)(多选)若a＞b＞0，c＜0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．ac＞bc　　　　　　　　 B．a＋c＞b＋c C．a3＞b3 D．a2c<b2c (2)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(　　) A．若a＞b>0，则< B．若＞，则a＞b C．若a3＞b3且ab＜0，则＞ D．若a2＞b2且ab＞0，则＜ 分析：不等式成立时要逻辑推证，不等式不成立可以取特值排除． [解析]　(1)A.取a＝2，b＝1，c＝－1，所以ac＝－2，bc＝－1，不成立．B.因为a＞b，所以a＋c＞b＋c.C.因为a＞b＞0，所以a3＞b3.D.因为a＞b＞0，所以a2>b2，又因为c＜0，所以a2c<b2c. (2)A中，若a＞b>0，则>，故A错误；B中，若>，c<0时，则a＜b，故B错误；C中，若a3>b3且ab<0，则>，故C正确；D中，若a2>b2且ab>0，当时，则＞，故D错误． [答案]　(1)BCD　(2)C 　应用不等式性质判定或证明不等式成立，利用取特值法可说明不等式不成立，但成立的要依据已知条件和不等式性质予以逻辑推证，推证时要注意不等式性质成立的条件，这是不等式性质考查的重点．另外利用采用特值法进行排除时，注意取特指一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． 　1.(1)已知a＞b＞0，c＜d＜0，则下列不等式成立的是(　　) A．ac＞bc B．c2＜d2 C．a＋c＞b＋d D．＞ (2)已知实数0＜a＜1，则下列不等式正确的是(　　) A．＞a＞a2 B．a＞a2＞ C．a2＞＞a D．＞a2＞a 解析：(1)A.取a＝2，b＝1，c＝－1，所以ac＝－2，bc＝－1，不成立．B.取c＝－2，d＝－1，所以c2＝4，d2＝1，不成立．C.取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，所以a＋c＝0＝b＋d，不成立．D.因为a＞b＞0，所以＜.又因为c＜0，所以＞. (2)因为0<a<1，所以取a＝，逐一验证，可知A正确． 答案：(1)D　(2)A 　利用不