第二章2.3第一课时二次函数与一元二次不等式-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

2．3　二次函数与一元二次方程、不等式 第一课时　二次函数与一元二次不等式 [学习目标]　1.了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系．　2.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．　3.能借助二次函数求解一元二次不等式． 授课提示：对应学生用书第39页 预习教材，思考问题 问题1　什么是一元二次不等式？ 问题2　二次函数零点的定义是什么？如何判断二次函数的零点个数？ 问题3　一元二次不等式与相应函数、方程有什么联系？ 问题4　求解一元二次不等式的步骤是什么？　　　 [预习自测] 1．函数y＝3x2－6x＋2的零点个数为(　　) A．0　　　　　　　　 B．1 C．2 D．不能确定 解析：Δ＝(－6)2－4×3×2＝12＞0. 答案：C 2．不等式x(x＋1)＜0的解集是(　　) A．{x|－1＜x＜0} B．{x|x＜－1，或x＞0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0，或x＞1} 解析：方程x(x＋1)＝0的实数根是－1，0，由函数y＝x(x＋1)图象(图略)得不等式x(x＋1)＜0的解集是{x|－1＜x＜0}. 答案：A 3．函数y＝－x2＋2x＋3的零点是________． 解析：解方程－x2＋2x＋3＝0，得x1＝－1，x2＝3， ∴函数y＝－x2＋2x＋3的零点是－1，3. 答案：－1，3 4．求不等式x2－4x＋4＞0的解集． 解：方程x2－4x＋4＝0的实数根是2，由函数y＝x2－4x＋4图象得不等式x2－4x＋4＞0的解集是{x|x≠2}． 授课提示：对应学生用书第39页 　二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点． [例1]　函数y＝x2＋bx－1的零点个数是(　　) A．0　　　　　　　 B．1 C．2 D．不确定 分析：二次函数零点个数取决于判别式Δ＝b2－4ac的符号． [解析]　∵Δ＝b2＋4＞0，∴函数有2个零点． [答案]　C 　1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点是相应方程ax2＋bx＋c＝0的根，所以二次函数零点可通过解方程得到，而零点个数可通过判别式Δ的取值符号判定． 2．二次函数零点是函数图象与x轴交点的横坐标． 　1.已知函数y＝ax2＋x＋1有一个零点是1，则该函数的另一个零点是________． 解析：由题设得a＋1＋1＝0，∴a＝－2，函数y＝－2x2＋x＋1. 设函数另一个零点为x0，则x0＋1＝，∴x0＝－. 答案：－ 　一元二次不等式 1．一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．三个“二次”的关系 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，设Δ＝b2－4ac，它的根按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0可分为三种情况．相应地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的位置也分为三种情况．因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集． 3．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1，或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ [例2]　解下列不等式： (1)(x－3)(x－7)＜0；(2)4＋4x－3x2＞0；(3)x(2x＋3)≤(x＋3)(x－1)；(4)＞0. 分析：(1)(2)(3)利用一元二次不等式与二次函数、方程的关系求解；(4)利用符号法则将>0转化为一元二次不等式x(2x－1)＞0求解． [解]　(1)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7，且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线，故不等式的解集是{x|3＜x＜7}． (2)不等式可化为3x2－4x－4＜0， 方程3x2－4x－4＝0的根为－，2. 函数y＝3x2－4x－4的示意图为： ∴不等式4＋4x－3x2＞0的解集为. (3)不等式可化为x2＋x＋3≤0. ∵Δ＝1－12＝－11＜0， ∴方程x2＋x＋3＝0无实数根， 函数y＝x2＋x＋3的示意图为： ∴不等式x(2x＋3)≤(x＋3)(x－1)的解集为∅. (4)＞0，等价于x(2x－1)>0， 解得x<0或x>， ∴不等式＞0的解集