第二章2.3第二课时一元二次不等式的应用-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

第二课时　一元二次不等式的应用(1) [学习目标]　1.能熟练地由一元二次不等式的解集逆求参数．　2.能解决简单的一元二次不等式的“恒成立”问题． 授课提示：对应学生用书第41页 预习教材，思考问题 问题1　不等式x2－2x－3＜0的解集{x|m＜x＜n}中的m，n等于什么？ 问题2　已知不等式x2＋ax＋1＞0在R上恒成立，可得相应二次函数y＝x2＋ax＋1的图象与x轴有几个公共点？　　　 [预习自测] 1．若不等式(x－a)(x－b)＜0的解集为{x|1＜x＜2}，则a＋b的值为(　　) A．－1　　　　　　　 B．1 C．－3 D．3 解析：由题设知1，2是方程(x－a)(x－b)＝0的两实数根，∴a＋b＝3. 答案：D 2．若关于x的不等式x2＋ax＋1≥0对任意实数都成立，则实数a的取值范围为(　　) A．{a|－2＜a＜2} B．{a|a＞2，或a＜－2} C．{a|－2≤a≤2} D．{a|a≥2，或a≤－2} 解析：由题意知，二次函数y＝x2＋ax＋1的图象与x轴至多一个公共点， ∴Δ＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2. 答案：C 3．关于x的不等式5x2－ax－30＞0的解集是{x|x＜－2，或x＞b}，则a－b的值为________． 解析：由已知－2，b是方程5x2－ax－30＝0的两实数根， ∴ ∴∴a－b＝2. 答案：2 4．关于x的不等式x2＋2x＋a＜0的解集为∅，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意得Δ＝4－4a≤0，∴a≥1. 答案：{a|a≥1} 授课提示：对应学生用书第42页 　已知一元二次不等式解集逆求参数 已知一元二次不等式解集逆求参数，本质是考查“三个二次”间的联系，将不等式的解集借助二次函数图象转化为相应方程的实数根是解题的关键． [例1]　(1)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为，求不等式ax2－bx＋c＜0的解集； (2)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集． 分析：(1)由条件知－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两实数根，且a＜0，再利用根与系数的关系找到a，b，c的关系，代入求解．(2)由条件知2，3是方程ax2＋bx＋c＝0的两实数根，且a＜0，再利用根与系数的关系找到a，b，c的关系，代入求解． [解]　(1)由题设知－2，－是方程ax2＋bx＋c＝0的两实数根，且a＜0， 所以 所以 所以不等式ax2－bx＋c＜0为ax2－ax＋a＜0， 即x2－x＋1＞0，即2x2－5x＋2＞0， 解得不等式解集为. (2)法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0⇒6a(x－)(x－)<0，故原不等式的解集为，或x>}． 法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知＝－5，＝6.由a<0知c<0，＝－，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为. 　已知不等式解集逆求参数的一般思路 1．将不等式解集转化为相应方程根． 2．将方程根代入方程求得参数值． 　1.已知不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1，或x＞b}． (1)求a，b的值； (2)解不等式(x－c)(ax－b)＞0. 解：(1)因为不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1，或x＞b}， 所以x1＝1和x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个根， 把x1＝1代入方程得a×12－3×1＋2＝0，解得a＝1， 所以方程为x2－3x＋2＝0， 由根与系数的关系得1×b＝2，解得b＝2. 综上，a＝1，b＝2. (2)由(1)可知，原不等式为(x－c)(x－2)＞0， 方程(x－c)(x－2)＝0的两个根为x1＝c，x2＝2. 当c＜2时，解得x＜c或x＞2，所以不等式的解集为{x|x＜c，或x＞2}； 当c＞2时，解得x＜2或x＞c，所以不等式的解集为{x|x＜2，或x＞c}； 当c＝2时，解得x≠2，不等式的解集为{x|x≠2}． 综上，当c＜2时，不等式的解集为{x|x＜c，或x＞2}；当c＞2时，不等式的解集为{x|x＜2，或x＞c}；当c＝2时，不等式的解集为{x|x≠2}． 　一元二次不等式的恒成立问题 1．一元二次不等式恒成立问题，本质是考查“三个二次”的联系． 2．不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)在R上