第二章2.2第一课时基本不等式-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

2．2　基本不等式 第一课时　基本不等式 [学习目标]　1.能推理得到基本不等式，并理解基本不等式的几何意义．　2.掌握基本不等式和应用基本不等式求最值的两类模型．　3.会利用基本不等式判断不等关系及比较大小． 授课提示：对应学生用书第33页 预习教材，思考问题 问题1　如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b.过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.可得到CD＝，AB＝，由CD小于或等于圆的半径，可得出什么样的不等关系？ 问题2　请用作差法证明基本不等式． 问题3　应用基本不等式求最值的两类模型是什么？ 问题4　应用基本不等式求最值的条件是什么？　　　 [预习自测] 1．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．a2＋b2≥2ab成立的条件是a≥0，b≥0 B．a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R C．a＋b≥2成立的条件是a≥0，b≥0 D．a＋b≥2成立的条件是ab＞0 解析：根据a2＋b2≥2ab和a＋b≥2的条件可得选B，C. 答案：BC 2．不等式a＋1≥2(a＞0)中等号成立的条件是(　　) A．a＝0　　　　　　　 B．a＝ C．a＝1 D．a＝2 解析：根据基本不等式成立的条件可得选C. 答案：C 3．若a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则ab的最大值为________． 解析：因为a＞0，b＞0，所以a·b≤＝.当且仅当a＝b＝时等号成立． 答案： 授课提示：对应学生用书第34页 　基本不等式 1．基本不等式：如果a＞0，b＞0，则≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2．几何解释：圆中半径不小于半弦． [例1]　(1)已知x＞0，求x＋的最小值； (2)当0＜x＜10时，求的最大值． 分析：(1)求x＋的最小值，就是要求一个y0，使∀x＞0，都有x＋≥y0.观察x＋，发现x·＝4.联系基本不等式，可以利用正数x和的算术平均数与几何平均数的关系得到y0＝4. (2)求的最大值，就是要求一个y0，使∀x＞0，都有≤y0.观察，发现x＋(10－x)＝10，联系基本不等式，可以利用正数x和10－x的几何平均数与算术平均数的关系得到y0＝5. [解]　(1)因为x＞0，所以x＋≥2＝4.当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时等号成立，因此所求的最小值为4. (2)因为0＜x＜10，所以≤＝5.当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立，因此所求的最大值为5. 　1.一般地，若给出的数(式)涉及两个正数的和、积或两个实数的平方和，则可考虑利用重要不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R，a＞0，b＞0)和基本不等式≥(a＞0，b＞0)来比较它们的大小，但此时应特别要注意取等号时条件是否成立． 2．利用两正数的算术平均数与几何平均数的关系求最值时要注意何时取最值． 　1.(1)已知x＞0，求x＋－1的最小值； (2)已知x＞－2，求x＋的最小值． 解：(1)因为x＞0，所以x＋≥2＝2. 则x＋－1≥1. 当且仅当x＝，即x2＝1，x＝1时等号成立．因此所求的最小值为1. (2)因为x＞－2，所以x＋＝(x＋2)＋－2≥2－2＝6. 当且仅当x＋2＝，即(x＋2)2＝16，x＝2时等号成立，因此所求的最小值为6. 　利用基本不等式求最值的两类模型 已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值，简记为：积定和最小，和定积最大． [例2]　(1)已知a＞0，b＞0且ab＝36，求a＋b的最小值； (2)已知a＞0，b＞0且a＋b＝4，求ab的最大值． 分析：(1)利用基本不等式变形：a＞0，b＞0，a＋b≥2求解．(2)利用基本不等式变形：a＞0，b＞0，ab≤()2求解． [解]　(1)因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥2＝12. 当且仅当a＝b＝6时等号成立，因此所求的最小值为12. (2)因为a＞0，b＞0，所以ab≤()2＝4. 当且仅当a＝b＝2时等号成立，因此所求的最大值为4. 　1.求两正数的和或积的最值可应用基本不等式，应用基本不等式的条件是：一正、二定、三相等，三个条件缺一不可． 2．积为定值，和有最小值；和为定值，积有最大值． 3．基本不等式的推广：当a，b∈R时，ab≤()2. 　2.(1)已知a＞0，b＞0且ab＝6，则3a＋2b的最小值为__________； (2)已知a＞0，b＞0且2a＋b＝4，则ab的最大值为__________． 解析：(1)因为a＞0，b＞0，所以3a＋2b≥2＝2＝12. 当且仅当3a＝2b，即a＝2，b＝3时等号成立． 因此所求的最