第二章2.2第二课时基本不等式的应用-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

第二课时　基本不等式的应用 [学习目标]　1.掌握利用基本不等式求最值的一些技巧．　2.能应用基本不等式解决简单的实际问题．　3.会利用基本不等式证明不等式． 授课提示：对应学生用书第36页 预习教材，思考问题 问题1　已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，如何求＋的最小值？ 问题2　应用基本不等式解决简单实际问题最值的一般步骤是什么？　　　 [预习自测] 1．已知矩形面积等于100 cm2，当两条直角边的和最小时，两条邻边的长度分别为(　　) A．10 cm，10 cm　　　　　 B．5 cm，20 cm C．10 cm，20 cm D．5 cm，10 cm 解析：设矩形两条邻边的长度各为a cm，b cm. 由已知得ab＝100. 由≥，可得a＋b≥2＝20. 当且仅当a＝b＝10时等号成立． 答案：A 2．(多选)若a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则(　　) A．≥ B．ab≤ C．＋≥4 D．＋≤4 解析：因为a＞0，b＞0，所以a＋b＝1≥2， 则≤，ab≤， 当且仅当a＝b＝时等号成立， 所以A错误，B正确． ＋＝(a＋b)·(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4， 当且仅当a＝b＝时等号成立， 所以C正确，D错误． 答案：BC 3．函数y＝(x＞0)的最小值是________，此时x＝________． 解析：因为x＞0， 所以y＝＝x＋1＋≥2＋1＝2＋1， 当且仅当x＝， 即x＝时等号成立． 答案：2＋1　 4．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________． 解析：总费用4x＋×6＝4(x＋)≥4×2＝240，当且仅当x＝，即x＝30时等号成立． 答案：30 授课提示：对应学生用书第36页 　应用基本不等式求最值时的一些技巧 应用基本不等式解题的关键是凑出“定和”或“定积”及保证能取到等号，此时往往需要采用拆项、补项、平方、平衡系数、“1”的整体代入、消元化归部分分式等技巧，选择合理的变形技巧可以使复杂问题简单化，达到事半功倍的效果． [例1]　已知x＞0，y＞0，＋＝1，求x＋y的最小值． 分析：要求x＋y的最小值，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种凑定值的方法． [解]　法一：“1”的整体代入． ∵＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)·(＋)＝10＋＋. ∵x＞0，y＞0，∴＋≥2＝6，当且仅当＝，即y＝3x时取等号． 又∵＋＝1， ∴x＝4，y＝12， ∴当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16. 法二：消元化归部分公式． 由＋＝1，得x＝. ∵x＞0，y＞0，∴y＞9，∴x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1＝(y－9)＋＋10. ∵y＞9，∴y－9＞0. ∴(y－9)＋≥2＝6，当且仅当y－9＝，即y＝12时，取等号， 此时x＝4. ∴当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16. 法三：配凑定值． 由＋＝1，得9x＋y＝xy， ∴(x－1)(y－9)＝9. ∵x＞0，y＞0，且＋＝1， ∴x－1＞0，y－9＞0. ∴x＋y＝10＋(x－1)＋(y－9)≥10＋2＝16，当且仅当x－1＝y－9时取等号． 又∵＋＝1，∴x＝4，y＝12，∴当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16. 　1.本题给出了应用基本不等式求最值的三种思维方法，涉及的变形技巧有“‘1’的整体代入”“消元化归部分分式”“配凑定值”，突显应用中的整体思维和配凑出基本不等式满足条件的目标意识，要学会观察，善于积累，注意被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响． 2．具体步骤： “1”的整体代入 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 消元法 对于含有多个变量的条件最值问题，若直接运用基本不等式无法求最值时，可尝试减少变量的个数，即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系，然后代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题，即减元(三元化二元，二元化一元). 配凑法 配凑法的实质是代数式的灵活变形，即将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式(如：凑成x＋(a＞0)，＋的形式等)，然后利用基本不等式求解最值的方法． 　1.已知正数a，b满足＋＝3，则4a＋b的最小值为__________． 解析：因为＋＝3， 所以4a＋b＝·(＋)＝＋＋. 因为a，b是正数，所以＋≥2＝， 当且仅当＝，即b＝2a时，等号成立． 又因为＋＝3，所以a＝，b＝1. 所以当a＝，b＝1时，4a＋b取最小值3. 答案：3 　应用基本