第一章1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

1．5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 [学习目标]　1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．　2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定． 授课提示：对应学生用书第23页 预习教材，思考问题 问题1　全称量词命题与存在量词命题的否定分别是什么形式？ 问题2　如何正确写出全称量词命题与存在量词命题的否定？　　　 [预习自测] 1．命题“对任意实数x，都有x>2”的否定是(　　) A．对任意实数x，都有x≤2 B．不存在实数x，使x≤2 C．对任意非实数x，都有x≤2 D．存在实数x，使x≤2 解析：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“对任意实数x，都有x>2”的否定是“存在实数x，使x≤2”． 答案：D 2．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　) A.任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是无理数 解析：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”． 答案：B 3．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为_______ (填“真命题”或“假命题”). 解析：因为0的平方不是正数，所以命题“所有实数的平方都是正数”是假命题，从而它的否定是真命题． 答案：真命题 4．命题p：∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实根，则p的否定为__________(填“真命题”或“假命题”). 解析：因为当m＝－2时，方程x2－2x＋1＝0有实数根，所以命题“∃m∈R，方程x2＋mx＋1＝0有实根”是真命题，从而它的否定是假命题． 答案：假命题 授课提示：对应学生用书第24页 　命题的否定 一般地，对一个命题p进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定，记作¬p，一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假． [例1]　命题：“77是19的倍数”的否定是什么？并判断真假． 分析：对一些简单命题的否定，常将“是”变为“不是”． [解]　“77是19的倍数”的否定是“77不是19的倍数”；命题否定与原命题一真一假，因为“77是19的倍数”是假命题，所以它的否定“77不是19的倍数”为真命题． 　命题与命题的否定一真一假． 　1.命题：“空集是集合A＝{x|x≥1，x∈R}的真子集”的否定是什么？并判断真假． 解：原命题的否定是“空集不是集合A＝{x|x≥1，x∈R}的真子集”．空集为任意非空集合真子集，因为A＝{x|x≥1，x∈R}不是空集，因此，原命题为真，所以其否定为假命题． 　全称量词命题的否定 全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，¬p(x).全称量词命题的否定是存在量词命题． [例2]　写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)∀a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有实数根； (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0. 分析：把全称量词改为存在量词，然后否定结论． [解]　(1)该命题的否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行． (2)该命题的否定：∃a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根． (3)该命题的否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在． (4)该命题的否定：存在被5整除的整数，末位不是0. 　1.全称量词命题的否定的两个关注点 (1)写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定． (2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”． 2．常见词语的否定 词语 词语的否定 等于 不等于 大于 不大于(即小于或等于) 小于 不小于(即大于或等于) 是 不是 都是 不都是 　2.写出下列全称量词的否定： (1)∀x∈{－2，－1，0，1，2}，|x－2|≥2； (2)任何一个实数除以1，仍等于这个数； (3)所有分数都是有理数； (4)任意两个等边三角形都相似． 解：(1)该命题的否定：∃x∈{－2，－1，0，1，2}，|x－2|<2. (2)该命题的否定：存在一个实数除以1，不等于这个数． (3)该命题的否定：存在一个分数不是有理数． (4)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似． 　存在量词命题的否定 对含有一个量词的存在量词命题进行否定 存在量词命题：∃x∈M，p(x)． 存在量词命题的否定：∀x∈M，¬p(x)． 从一般形式来看，存在量词命题“∃x∈M，p(x)”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对存在量词进行否