第一章1.5.1全称量词与存在量词-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

1．5　全称量词与存在量词 1．5.1　全称量词与存在量词 [学习目标]　通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义． 授课提示：对应学生用书第21页 预习教材，思考问题 问题1　在逻辑中，哪些短语叫全称量词？全称量词命题定义是什么？ 问题2　在逻辑中，哪些短语叫存在量词？存在量词命题定义是什么？ 问题3　如何判断全称量词命题、存在量词命题的真假？　　　 [预习自测] 1．将“x2＋y2≥2xy，x，y∈R”改写成全称量词命题，下列说法正确的是(　　) A．对∀x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy B．∃x，y∈R，使x2＋y2≥2xy C.对∀x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy D．∃x<0，y<0，使x2＋y2≥2xy 解析：∀为全称量词，因此，B，D错误．且x，y范围不能随意变换，因此C错误． 答案：A 2．(多选)下列命题符合“∃x∈R，x2>3”的表达方式的有(　　) A．有一个x∈R，使得x2>3成立 B．对有些x∈R，使得x2>3成立 C．任选一个x∈R，都有x2>3成立 D．至少有一个x∈R，使得x2>3成立 解析：C为全称量词命题． 答案：ABD 3．命题“所有负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为__________． 解析：“所有”为全称量词，因此可用全称量词命题表达． 答案：∀x<0，(1＋x)(1－9x)>0 4．存在量词命题“∃x∈R，|x|＋2≤0”是__________(填“真”或“假”)命题． 解析：不存在任何实数，使得|x|＋2≤0，所以是假命题． 答案：假 授课提示：对应学生用书第21页 　全称量词与全称量词命题 1．短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等． 2．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题． 3．全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)． [例1]　语句(1)x>10，(2)10x＋1是整数，它们是命题吗？限定(1)中x∈R，(2)中x∈Z，将它们改写成全称命题的形式． 分析：(1)(2)中x代表范围未知，因此无法判断真假，改为全称量词命题，加全称量词即可． [解]　(1)(2)中，x范围变化时，真假不确定，因此，不是命题．若改写为全称命题，对变量x添加限定范围． (1)∀x∈R，x>10.(2)∀x∈Z，10x＋1是整数． 　1.通常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号记为“∀x∈M，p(x)”． 2．由于全称量词不同，因此，同一个命题的不同表述形式如下： 命题 全称量词命题“∀x∈M，p(x)” 表述形式 ①对所有的x∈M，都有p(x)成立； ②对一切x∈M，都有p(x)成立； ③对每一个x∈M，都有p(x)成立； ④任选一个x∈M，都有p(x)成立； ⑤凡是x∈M，都有p(x)成立； ⑥任给x∈M，都有p(x)成立． 　1.将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称量词命题为__________． 解析：根据全称量词命题的定义，对a，b限定范围，可得答案． 答案：∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2 　全称量词命题的真假判断 1．要判断全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立． 2．要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只需举出一个反例，即在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题． [例2]　下列全称量词命题是真命题的为__________．(填序号) ①对顶角相等； ②∀x∈R，|x|＋1≥2； ③对任意x∈{x|x＞－1}，使3x＋4＞0. 分析：①根据对顶角的性质分析．②利用|x|≥0可得结论．③对不等式进行变形． [解析]　①对顶角满足定理：两直线相交，对顶角相等，所以全称量词命题“对顶角相等”是真命题． ②∀x∈R，总有|x|≥0，因而|x|＋1≥1，所以取x＝0，|x|＋1＝1，不符合|x|＋1≥2，所以全称量词命题“∀x∈R，|x|＋1≥2”是假命题． ③将不等式x＞－1可以变形为3x＋3＞0，所以全称量词命题“对任意x∈{x|x＞－1}，使3x＋4＞0”是真命题． [答案]　①③ 　要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题． 　2.下列命题是全称量词命题且是真命题的是__________．(填序号) ①所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径； ②∀x∈R，