第一章1.4.2充要条件-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

1．4.2　充要条件 [学习目标]　通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系． 授课提示：对应学生用书第18页 预习教材，思考问题 问题1　充要条件是如何定义的？ 问题2　已知A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}． ①若p为q的充要条件，则集合A与B什么关系？ ②若AB，则p为q的什么条件？ ③若BA，则p为q的什么条件？ ④若A，B不存在包含关系，则p为q的什么条件？　　　 [预习自测] 1．若x∈R，则“x＝2”是“x2－5x－6＝0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：因为x2－5x－6＝0可化为(x＋1)(x－6)＝0，解得x＝6或x＝－1，所以“x＝2”推不出“x＝6或x＝－1”，同时“x＝6或x＝－1”也推不出“x＝2”．从而“x＝2”既不是“x2－5x－6＝0”的充分条件，也不是“x2－5x－6＝0”的必要条件． 答案：D 2．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：∵A∩B＝A⇔A⊆B，∴“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件． 答案：C 3．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的__________条件． 解析：由(2x－1)·x＝0， 得x＝0或x＝， 则“(2x－1)x＝0”为“x＝0”的必要不充分条件． 答案：必要不充分 4．设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的__________条件． 解析：x>1时，x3>1，反之也成立． 答案：充要 授课提示：对应学生用书第18页 　充要条件的判断(定义法、集合法) 1．将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题． 2．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 3．从集合的角度理解充分必要性 设非空集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}． (1)若A＝B，则p是q的充要条件(如图①)； (2)若A不包含于B且B不包含于A，即A不是B的子集，且B不是A的子集，则p是q的既不充分也不必要条件(如图②). [例1]　已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，在下列各结论中正确的为(　　) ①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充分条件； ②Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的必要条件； ③Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件； ④Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件． A．③　　　　　　　　　 B．①② C．①②③ D．①②③④ 分析：当p是q的充要条件正确时，p是q的充分条件及p是q的必要条件将都是正确的，故上述结论③正确时，结论①②也正确．应该指出的是：p是q的充分条件包含了两种可能：p是q的充分不必要条件与p是q的充要条件；同样，p是q的必要条件也包含了两种可能：p是q的必要不充分条件与p是q的充要条件．其实结论④可进一步明确成：Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分不必要条件． [解析]　因为Δ＝b2－4ac≥0是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根的充要条件．利用该结论可知：上述①②③是正确的．同时当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两相等的实根，故④也是正确的． [答案]　D [例2]　指出下列各题中，p是q的什么条件？(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”) (1)p：a能被6整除，q：a能被3整除； (2)p：两个角都是直角，q：两个角不相等； (3)p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. 分析：该题利用定义法或集合法求解即可． [解]　(1)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p⇒q，q⇒/　p， 故p是q的充分不必要条件． (2)p：两个角都是直角，则这两个角相等， q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角， 即p⇏q，q⇏p， 故p是q的既不充分也不必要条件． (3)因为A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA， 所以p是q的充要条件． 　判断充分必要性，要从充分性、必要性两方面，判断方法主要有： 1．定义法． (1)分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论． (2)找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假． (3)根据推式及条件得出结论． 2．等价转化法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题