第一章1.4.1充分条件与必要条件-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

1.4　充分条件与必要条件 1．4.1　充分条件与必要条件 [学习目标]　1.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．　2.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系． 授课提示：对应学生用书第15页 预习教材，思考问题 问题1　什么叫真命题？什么叫做假命题？ 问题2　充分条件、必要条件是如何定义的？ 问题3　已知集合A＝{x|x满足条件p}，集合B＝{x|x满足条件q}，若p为q的充分条件，则集合A与B有什么关系？若p为q的必要条件，则集合A与B有什么关系？　　　 [预习自测] 1．x＝1是x2＝1的(　　) A．充分条件　　　　　　 B．必要条件 C．不充分条件 D．无法判断 解析：由x＝1，可知x2＝1， 由x2＝1，可知x＝－1或1. 答案：A 2．若M＝{x|x>－1}，P＝{x|x>0}，则x∈P是x∈M的(　　) A．充分条件 B．不充分条件 C．必要条件 D．无法判断 解析：结合数轴，可知P⊆M，从而由x∈P可推出x∈M，反之不成立． 答案：A 3．“x＝3”是“x2＝9”的__________条件(填“充分”或“必要”). 解析：由x＝3可知x2＝32＝9；反之由x2＝9可知x＝±3. 答案：充分 4．“ab>0”是“a>0，b>0”的__________条件(填“充分”或“必要”). 解析：若“ab>0”可知“a>0，b>0”或者“a<0，b<0”． 答案：必要 授课提示：对应学生用书第15页 　充分条件与必要条件概念 1．命题 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． 2．在“若p，则q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论． 3．“若p，则q”为真命题，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件． 4．一般来说，对给定的结论q，使得q成立的条件p是不唯一的；给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的． [例1]　(1)下列说法中是真命题的是________(填序号). ①已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d； ②若x∈N，则x3＞x2成立； ③若m＞1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根； ④存在一个三角形没有外接圆． (2)下列说法中正确的有__________(填序号). ①x＝1是(x－1)(x－2)＝0的充分条件； ②x>1是x>2的充分条件； ③x＋y>2是x>1，y>1的必要条件． 分析：(1)要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断．而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．(2)看代数式之间推出关系，可通过x所属范围大小来判断，通过数轴或列举的方法可直接得出． [解析]　(1)①假命题．反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2. ②假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立． ③真命题．∵m>1⇒Δ＝4－4m<0， ∴方程x2－2x＋m＝0无实数根． ④假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆． (2)①正确，因为x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0；②错误，因为x>1不能推出x>2；③正确，因为x>1，y>1⇒x＋y>2. [答案]　(1)③　(2)①③ 　要判断充分条件、必要条件，首先要搞清条件与结论，以及条件与结论的推出关系． 　1.(1)(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．若xy＝1，则x，y互为倒数 B．平面内，四条边相等的四边形是正方形 C．平行四边形是梯形 D．若ac2＞bc2，则a＞b (2)对任意实数a，b，c，下列说法中，正确的是(　　) A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件 C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件 D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件 解析：(1)A、D是真命题，B.平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，C.平行四边形不是梯形． (2)A错误，因为当c≤0时，a>b不能推出ac>bc；B正确，根据等式的性质有“a＝b⇒ac＝bc”；C错误，因为当c<0时，ac>bc不能推出a>b；D错误，因为当c＝0时，ac＝bc不能推出a＝b. 答案：(1)AD　(2)B 　充分条件的判断(定义法、集合法) 1．对充分条件的理解 充分条件是某一个结论成立应具备的条件，当命题具备此条件时，就可以得出此结论；或要使此结论成立，只要具备此条件就足够了．例如，x＝－5⇒x2＝25成立．并且当命题不具备此条件时，结论也有可能成立，例如，x＝5⇒x2＝25也成立，所以“x＝5”是“x2＝25”的充分条件． 2．