第一章1.3第二课时全集与补集-【优化探究】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册同步导学案配套教参（人教A版2019）

第二课时　全集与补集 [学习目标]　1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．　2.能使用Venn图表达集合的补集运算，体会图形对理解抽象概念的作用． 授课提示：对应学生用书第12页 预习教材，思考问题 已知方程(x－2)(x2－3)＝0，则： 问题1　在有理数范围内解集是什么？ 问题2　在实数范围内解集是什么？ 问题3　有理数范围内的解集和实数范围内的解集存在什么关系？　　　 [预习自测] 1．设集合A＝{0，2，4，6，8，10}，B＝{4，8}，则∁AB＝(　　) A．{4，8}　　　　　　　 B．{0，2，6} C．{0，2，6，10} D．{0，2，4，6，8，10} 解析：由补集的概念，得∁AB＝{0，2，6，10}． 答案：C 2．若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁UA＝(　　) A．{x|0<x<2} B．{x|0≤x<2} C．{x|0<x≤2} D．{x|0≤x≤2} 解析：∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，∴∁UA＝{x|0<x≤2}． 答案：C 3．设全集U＝{x|x是四边形}，A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是矩形}，则∁U(A∩B)＝__________． 解析：∵A∩B＝{x|x是菱形，且x是矩形}＝{x|x是正方形}， ∴∁U(A∩B)＝{x|x是四边形，且x不是正方形}． 答案：{x|x是四边形，且x不是正方形} 4．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，则∁U(A∪B)＝__________． 解析：因为U＝{x|x≤4}，A∪B＝{x|－3≤x<3}， 所以∁U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}． 答案：{x|x<－3，或3≤x≤4} 授课提示：对应学生用书第12页 　全集与补集的概念 1．全集的概念 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U． 2．补集的概念 (1)自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA． (2)符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}． (3)图形语言 可用Venn图表示． [例1]　(1)已知全集U，M，N是U的非空子集，且∁UM⊇N，则必有(　　) A．M⊆∁UN　　　　　　 B．M⊇∁UN C．∁UM＝∁UN D．M⊆N (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA________． (3)已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}，则集合B＝________． 分析：(1)借助Venn图求解． (2)利用补集的定义，借助于数轴的直观作用求解． (3)先结合条件，由补集的性质求出全集U，再由补集的定义求出集合B，也可借助Venn图求解． [解析]　(1)依据题意画出Venn图， 观察可知，M⊆∁UN. (2)将全集U和集合A分别表示在数轴上，如图所示． 由补集的定义可知∁UA＝{x|x<－3，或x＝5}． (3)∵A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∴U＝{1，2，3，4，5，6，7}． 又∁UB＝{1，4，6}， ∴B＝{2，3，5，7}． [答案]　(1)A　(2){x|x<－3，或x＝5} (3){2，3，5，7} 　求集合补集的两种方法 1．如果所给集合是有限集，可先把集合中的元素列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，也可借助Venn图来求解，这样相对来说比较直观、形象、且解答时不易出错． 2．如果所给集合是不等式的解集，那么在解答有关集合补集的问题时，常借助数轴． 　1.已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB). 解：因为U＝{x|x≤4}，A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，所以∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，∁UB＝{x|x<－3，或2<x≤4}，即A∩B＝{x|－2<x≤2}，(∁UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}． 　补集的性质 　补集的性质及说明 性质 说明 A∪(∁UA)＝U 集合A与A的补集的并集是全集 A∩(∁UA)＝∅ 集合A与A的补集的交集是空集 ∁U(∁UA)＝A 集合的补集的补集是集合本身 ∁UU＝∅，∁U∅＝U 全集的补集是空集，空集的补集是全集 [例2]　已知集合A＝{y|y>a2＋1，或y<a}，B＝{y|2≤y≤4}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围． 分析：由于