第1章 空间向量与立体几何单元测试能力卷-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2023-2024学年高二数学上学期单元测试能力卷（人教A版2019） 第1章 空间向量与立体几何 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（    ） A．1 B． C． D． 3．已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在直三棱柱中，，，，，点在棱上，点在棱上，给出下列三个结论： ①三棱锥的体积的最大值为； ②的最小值为； ③点到直线的距离的最小值为． 其中所有正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为的中点，N在侧面上（包含边界），若，则下列正确的是（    ）      A．若，则∥平面 B．若，则 C．当最小时， D．当最大时， 7．若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论： ①线段长度的取值范围是； ②存在点使得平面； ③存在点使得. 其中，所有正确结论的序号是 A．①②③ B．②③ C．①③ D．①② 8．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为2，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分) 9．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（    ）    A． B．存在点，使平面 C．存在点，使直线与所成的角为 D．点到平面与平面的距离和为定值 10．已知空间中三点，，，则（    ） A． B．与方向相反的单位向量的坐标是 C． D．在上的投影向量的模为 11．已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，点为球面上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．球在正方体外部分的体积为 B．若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则 C．若点在平面下方，则直线与平面所成角的正弦值最大为 D．若点､､在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则最小值为 12．如图，已知正方体的棱长为2，点M为的中点，点P为正方形上的动点，则（    ） A．满足MP//平面的点P的轨迹长度为 B．满足的点P的轨迹长度为 C．存在点P，使得平面AMP经过点B D．存在点P满足 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则 ． 14．已知四棱锥的底面是平行四边形，侧棱、、上分别有一点、、，且满足，，，若、、、四点共面，则实数 ． 15．已知棱长为的正四面体，为的中点，动点满足，平面经过点，且平面平面，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为 . 16．如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为 ． 四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    18．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 19．如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，P为上的点.且求： (1)λ的值； (2)异面直线PC与所成角的余弦值． 20．在长方体中，，分别是，的中点，，，过，，三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体．    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值． 21．如图，在四棱锥中，平面，，，且，，.    (1)求证：； (2)在线段上，是否存在一点M，使得平面与平面