第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级上册数学同步教案（华东师大版）

第22章　一元二次方程 22.2　一元二次方程的解法 第1课时　直接开平方法和因式分解法 教学目标 1.理解直接开平方法和因式分解法，掌握用两种方法解一元二次方程的一般步骤 . 2.能灵活运用因式分解法解简单的一元二次方程. 3.了解转化、降次思想在解方程中的运用. 教学重难点 重点：理解直接开平方法和因式分解法. 难点：会根据方程的特点灵活选用方法解一元二次方程. 教学过程 复习巩固 1.平方根的概念 如果一个数x的平方等于a. 那么这个数x叫做a的平方根，即x2 ＝a, 　 x叫做a的平方根. 2.因式分解 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做因式分解. 导入新课 【问题1】 活动1（学生交流，教师点评） 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. (1)x2＝4；(2) x2＝0；(3) x2+1＝0. 【解】 (1)根据平方根的意义，得x1＝2, x2＝-2. (2)根据平方根的意义，得x1＝x2＝0. (3)根据题意，得x2＝-1, 因为负数没有平方根，所以原方程无解. 教师总结并引出课题：22.2一元二次方程的解法　 第1课时　直接开平方法和因式分解法 探究新知 探究点一　直接开平方法 一般地，对于形如x2＝a(a≥0)的方程，根据平方根的意义，可解得 ，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法. 【归纳】 一般的，对于方程 x2 ＝ p, （1）当p>0 时，根据平方根的意义，方程x2 ＝ p有两个不相等的实数根 ，； （2）当p＝0 时，方程x2 ＝ p有两个相等的实数根x1＝x2＝0； （3）当p<0 时,因为对任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程x2 ＝p无实数根. 【问题2】活动2（师生互动） 例1　利用直接开平方法解下列方程: (1) x2＝25；　(2) x2-900＝0. 【解】（1）直接开平方，得即 （2）移项，得x2＝900. 直接开平方，得x＝±30， 即x1＝30, x2＝-30. 即学即练 对照例1中解方程的方法，你认为怎样解方程(x+2)2＝25？ 【解】（x+2)2＝25（1），所以x+2＝5或x+2＝-5（2）. 所以方程（x+2）2＝25的两个根为 【题后总结】(学生总结，老师点评)上面的解法中 ，由方程（1）得到（2）， 实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把 方程转化为我们会解的方程了. 例2 解下列方程： （1）(x+2)2＝7 ；（2）(2x+3)2＝16； 【探索思路】(引发学生思考)（1）只要将（x+2）看成是一个整体，就可以运用 直接开平方法求解.（2）解题方法同第（1）小题. 【解】（1）由题意知x+2是7的平方根， ∴ x+2＝即x+2＝或x+2＝， ∴ ，. （2）由题意知2x+3是16的平方根， ∴ 2x+3 ＝±4. 即2x+3 ＝4或2x+3 ＝-4 ∴ x1＝，x2＝. 【总结】采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为x2＝p或(mx+n)2＝ p(p≥0)的形式的方程，可得x＝或mx+n＝. 【问题3】活动3（师生互动） 探究点二　用因式分解法解一元二次方程 解方程.小亮是这么解的： 把方程两边同除以x ，得x-7＝0,所以x＝7. 小亮的解法对吗？为什么？ 【答案】小亮把方程两边同除以x，而x有可能等于零， 所以小亮的解法不对 . 【归纳】 1.因式分解法：通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 2.因式分解法的基本步骤 （1）移项：将方程的右边化为0; （2）化积：将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积; （3）转化：将方程转化为两个一元一次方程; （4）求解：解两个一元一次方程，写出方程的解. 例3　用因式分解法解下列方程 （1）3x2-6x＝9; （2）4x2-121＝0. 【解】(1)化为一般式为x2-2x-3＝0. 因式分解，得( x+1 )( x-3)＝0. 从而或x-3＝0， 所以x1＝-1，x2＝3. (2)因式分解，得( 2x + 11 )( 2x-11 ) ＝ 0. 从而2x + 11＝0或2x -11＝ 0， 所以x1＝，x2＝. 【题后总结】(学生总结，老师点评)用因式分解法解一元二次方程时，我们先将左 边化为两个一次因式的乘积，右边是0的形式，然后由乘积等于0，得到两个因式 中至少有一个等于0，从而将一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程来解 例4　用直接开平方法或因式分解法解下列方程： (1)(x+1)2＝2；　(2)(2x+1)2＝2x+1； (3)-x2＝4x；　　(4)(x+5)2＝9. 【探索思路】(引发学生