第24章解直角三角形24.3.1锐角三角函数（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级上册数学同步教案（华东师大版）

第24章　解直角三角形 24.3　锐角三角函数 1　锐角三角函数（第1课时） 教学目标 1.理解锐角三角函数的定义. 2.熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算. 教学重难点 重点：理解锐角三角函数的定义. 难点：掌握三角函数之间的关系并会计算. 教学过程 复习巩固 1.直角三角形两锐角、三边之间的关系： 如图，在Rt △ABC中，∠C＝90°. 两锐角关系：∠A+∠B＝90°. 三边关系：AC2 + BC2 ＝AB2. 2.相似三角形的性质： 相似三角形对应边成比例，对应角相等. 导入新课 活动1（学生交流，教师点评） 【探究】任意画Rt△ABC 和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，那么 与 有什么关系.能解释一下吗？ 教师引出课题： 24.3　　锐角三角函数 1　锐角三角函数　（第1课时） 探究新知 探究点一　锐角的正弦、余弦、正切 活动2（学生交流，教师点评） 接着探究上面的问题，可得在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，因为∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′， . 这就是说，在Rt△ABC中，当锐角∠A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值. 【总结】 1.∠A的正弦的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即 sin A＝＝. 活动3（学生交流，教师点评） 【思考】 一般情况下，在Rt△ABC中，当锐角∠A取其他确定的值时，∠A的对边与邻边的比值还会是一个固定的值吗？ 【探索】观察下图 易知 Rt△AB1C1∽ Rt△AB2C2 ∽ Rt△AB3C3 则＝，＝＝. 同样可以发现，对于锐角∠A的每一个确定的值，其邻边与斜边的比值、对边与邻边的比值都是一个定值. 【总结】 2.∠A的余弦的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边为a，∠A的邻边为b，斜边为c. ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A， 即. 3.∠A的正切的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边为a，∠A的邻边为b，斜边为c. ∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A， 即tan A＝ ＝. 探究点二　锐角三角函数的概念 【归纳】在Rt△ABC中，∠C＝90°，对于锐角∠A的每一个确定的值，sin A有唯一确定的值与它对应，所以sinA是锐角∠A的函数.同样地，cosA，tanA也是锐角∠A的函数. sin A＝＝， cos A＝＝， tan A＝ ＝， 以上分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的锐角三角函数. 锐角三角函数的取值范围： 0<sin A<1，　　0<cos A<1，　　tan A>0. 【注意】sin A、cos A、tan A的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关. 活动4　合作探究解决问题（小组交流，教师点评） 典例讲解(师生互动) 例1　在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，AB＝13，求∠A的三个三角函数值. 【解】sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝. 例2　如图，∠C＝90°，CD⊥AB. (1)sinB可以是哪两条线段之比? (2)若AC＝5，CD＝3，求sinB的值. 【解】（1）. （2）∵ ∠B　＝∠ACD， ∴ sin B＝sin ∠ACD. 在Rt△ACD中，AD＝ ＝ ＝4， sin ∠ACD＝， ∴ sin B. 【题后总结】(学生总结，老师点评)求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为求和它相等角的正弦值. 【即学即练】（小组交流，教师点评） 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，求cos A、sin B、tan B的值. 【解】∵ sinA＝＝， ∴ 设AB＝13x，BC＝12x. 由勾股定理，得AC＝＝＝5x. ∴ cos A＝＝，sin B＝＝，tan B＝＝. 【题后总结】(学生总结，老师点评)根据sin A＝能得到BC与AB的关系，进而通过设未知数，根据勾股定理求出AC. 课堂练习 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sin A＝，那么sin B的值是(　　) A. B. C. D.3 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sin A、cos A、tan A的值. 3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝，求sinA、cosB的值. 4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B的值. 参考答案 1.A　 2.【解】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB ＝10，BC＝6， ∴ . 由勾股