第23章图形的相似23.4中位线（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级上册数学同步教案（华东师大版）

第23章　图形的相似 23.4　中位线 教学目标 1.理解三角形中位线的定义，掌握三角形中位线的性质定理，并能利用它解决简单的问题. 2.理解三角形重心的定义，掌握三角形重心的性质. 教学重难点 重点：掌握中位线及其性质定理. 难点：能综合运用已经学过的知识解决有关中位线的问题. 教学过程 复习巩固 三角形的中线：三角形的一个顶点与它对边中心的连线叫做三角形的中线. 导入新课 【问题1】 活动1（学生交流，教师点评） 如图，在池塘外选三点A、B、C，连结AB、AC、BC，分别找出AC和BC的中点D、E，并且连结，如果测量出DE的长度为10米，也就能知道AB的距离了.同学们知道AB是多少米吗？为什么？ 教师引出课题： 23.4　中位线 探究新知 探究点一　三角形的中位线 【问题2】 活动2　（小组讨论，师生互学） 请同学们按要求画图： 在任意△ABC中，取AB、AC的中点D、E， 连结DE. 总结： 三角形中位线的定义：像DE这样，连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 思考：1.一个三角形有几条中位线？ 【答案】3条 2. 三角形中位线与三角形中线有什么区别？ 　　 【答案】端点不同. 探究点二　三角形中位线的性质 【问题3】 活动3　（小组讨论，师生互学） 如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的关系？ 度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论. 猜想结论：位置关系是DE∥BC.　数量关系是DE＝BC. 结论：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 符号语言表示为：如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点. 求证：DE∥BC，DE＝BC. 如何证明你的猜想？ 【证明】如图所示，延长DE到点F，使EF＝DE. 连结AF、CF、DC .∵ AE＝EC，DE＝EF ， ∴ 四边形ADCF是平行四边形. ∴ CF∥AD，CF＝AD.∴ CF∥BD，CF＝BD. ∴ 四边形BCFD是平行四边形. ∴ DF ∥BC，DF＝BC，∴ DE∥BC，DE＝BC. 活动4 典例讲解（师生互动） 例1　如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，如果△ADE的周长是10，求△ABC的周长. 【探索思路】（引发学生思考）求△ABC的周长，就要求出△ABC三边的长度，如何根据已知三角形的周长找到所求三角形的边长？ 【解】∵ D、E分别是AB、AC的中点， ∴ AD＝AB，AE＝AC，DE＝BC， ∴ △ABC的周长＝AB+AC+BC＝2AD+2AE+2DE ＝2（AD+AE+DE）＝2×10＝20. 【题后总结】（学生总结，老师点评）此题主要是利用根据线段的中点和三角形的中位线定理解决问题. 方法总结：三角形中位线定理为证明平行关系提供了新的依据，并为证明一条线段是另一条线段的2倍或提供了一个新的方法. 【即学即练】（师生互动） 1.求证：顺次连结四边形四条边的中点所得的四边形是平行四边形. 已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形. 【证明】连结AC. ∵ H，G分别是AD，CD的中点， ∴ HG是△ADC的中位线， ∴ HG∥AC，HG＝AC. 同理 EF∥AC， EF＝ AC， ∴ HG∥EF ，HG＝EF， ∴ 四边形EFGH是平行四边形. 探究点三　三角形的重心及其性质 【问题4】 活动5　（教师引导，师生互学） 例2 如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G.求证： .　 证明:连结ED. ∵ D、E分别是边BC、AB的中点， ∴ DE∥AC， ∴ △ACG∽△DEG， ∴ ∴ 提示：如果在上图中，取AC的中点F，假设BC与AD交于G′，如图，那么我们同理可得，所以有，即两图中的点G与G′是重合的. 【总结】 于是我们有以下结论： 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边 中点的连线的长是对应中线长的. 活动6　（小组讨论，教师点评） 典例讲解（师生互动） 例3　如图，在△ABC中，BD＝DC，AE＝EB，AD与CE相交于点O，若DO＝2 cm，求AO的长. 【探索思路】（引发学生思考）BD＝DC，AE＝EB→确定点O是△ABC的重心→确定AO与已知DO的数量关系→得出结论. 【解】∵ BD＝DC，AE＝EB，AD与CE相交于点O，∴ O是△ABC的重心， ∴ AO＝2DO＝2×2＝4（cm）. 【即学即练】 2.如图，在△ABC中，D是△ABC的重心，连结AD并延长交BC于点E，若BC＝6，则EC＝（ ） A.2　　　　B.2.5　　　　C.3　　　　D.3.5 【解析】 ∵ D是△ABC的重心，∴