第23章图形的相似23.3.4相似三角形的应用（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级上册数学同步教案（华东师大版）

第23章　图形的相似 23.3　相似三角形 4　相似三角形的应用 教学目标 1.能够利用相似三角形的知识，求出不能直接测量的物体的高度和宽度. 2.进一步了解数学建模思想，能够将实际问题转化为相似三角形的数学模型，提高分析问题、解决问题的能力. 教学重难点 重点：运用相似三角形的知识，解决实际问题. 难点：将实际问题转化为相似三角形的数学模型. 教学过程 复习巩固 1.判定三角形相似的方法： （1）平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似. （2）判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 判定定理3：三边成比例的两个三角形相似. 2.相似三角形的性质： 相似三角形的对应边成比例，对应角相等. 相似三角形周长的比等于相似比. 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 导入新课 【问题】 活动1（学生交流，教师点评） 思考：怎样测量河宽？ 利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离问题. 教师引出课题： 23. 3　相似三角形 4　相似三角形的应用 探究新知 探究点一　利用相似三角形测量高度 活动2　（小组讨论，师生互学） 典例讲解（师生互动） 例1　 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB.如果O′B′＝1米，A′B′＝2米，AB＝274米，求金字塔的高度OB. 【探索思路】（引发学生思考）在太阳光线照射下，光线平行照射，得到平行线，由此得到同位角相等，由物高与地面垂直，得到直角，构造相似三角形，物高与影长对应成比例，列出比例式求解. 【解】∵ 太阳光是平行光线， ∴ ∠OAB＝∠O′A′B′. 又∵ ∠ABO＝∠A′B′O′＝90°. ∴ △OAB∽△O′A′B′， ∴ ＝， ∴ OB＝（米）. 答:该金字塔高度OB为137米. 例2　如图是一位学生设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.在点P处放一水平的平面镜，光线从点A发出经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，求该古城墙的高度. 【解】由反射角等于入射角，可得∠APB＝∠CPD，∵ AB⊥BD，CD⊥BD， ∴ ∠ABP＝∠CDP＝90°， ∴ △ABP∽△CDP，∴ . 又∵ AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，∴ ， 解得CD＝8（米）， 答：该古城墙的高度为8米. 【总结】测物体高度的方法 （1）测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长对应成比例”的原理解决. 物1高 ∶物2高 ＝ 影1长∶影2长 （2）利用镜子的反射测物体的高度 在观测者与物体之间的地面上平放一平面镜，在镜面上做一标记，观测者看着镜子来回走动，直到看到物体的顶端在镜中的像与镜面上的标记重合，测量观测者与镜面间的距离及观测者眼睛距地面的高度，根据反射角等于入射角，利用相似三角形的对应边成比例求解. 【即学即练】（师生互动） 1.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米? 【解】如图所示，过点D作DE⊥AB于点E， 得，∴ AE＝8. ∴ AB＝8+1.4＝9.4（米）. 答：这棵大树高9.4米. 探究点二　利用相似三角形测量河宽 活动3　（学生交流，教师点评） 典例讲解（师生互动） 例3　为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B、C、D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E.如图所示，若测得BE＝90 m，EC＝45 m，CD＝60 m，则这条河的宽AB等于（　　） A.120 m B.67.5 m C.40 m D.30 m 【探索思路】（引发学生思考）由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得这条间的宽度AB. 【解析】∵ AB⊥BC，CD⊥BC，∴ ∠ABE＝∠DCE＝90°. 又∵ ∠AEB＝∠DEC， ∴ △BAE∽△CDE，∴ ＝. ∵ BE＝90 m，CE＝45 m，CD＝60 m， ∴ ＝，解得AB＝120 m. 即这条河的宽AB为120 m. 【答案】A 【题后总结】（学生总结，老师点评）考查相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例. 【总结】测河宽的方法 测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度，常构造相似三角形求解. 【即学即练】（师