第22章一元二次方程22.3实践与探索（配套教参）-【名校培优课堂】2023-2024学年九年级上册数学同步教案（华东师大版）

第22章　一元二次方程 22.3　实践与探索 第1课时　几何图形问题 教学目标 1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型. 2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题. 3.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程求解，并检验方程的解是否合理. 教学重难点 重点：掌握用一元二次方程解应用题的一般步骤. 难点：掌握面积法建立一元二次方程的数学模型. 教学过程 导入新课 【问题1】 活动1（学生交流，教师点评） 例1　用一条长40 cm的绳子怎样围成一个面积为75 cm2的矩形？设矩形的一边 为x cm，根据题意，可列方程为　　　　　　. 【答案】x(20-x)＝75 教师总结并引出课题：22.3　实践与探索 第1课时　几何图形问题 探究新知 探究点一　列一元二次方程解应用题的一般步骤 （1）审：审题，明确已知量、未知量及题中的等量关系； （2）设：设未知数，有直接设和间接设两种设法，因题而异； （3）列：用含所设未知数的代数式表示等量关系中其他未知量，列出方程； （4）解：求出所列方程的解； （5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意； （6）答：写出答案. 探究点二　利用一元二次方程解决图形面积问题 【问题2】 活动2（学生交流，教师点评） 例2 如图，某小区在一个长为40 m，宽为26 m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的甬路，其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都为144 m2，求甬路的宽度. 【探索思路】 方法1：根据矩形的面积减去甬路的面积等于六块草地的面积；方法2：将原图中三条甬路分别向上和向右平移至如图所示的位置，若设甬路的宽为x m，则草坪总面积为(40-2x)(26-x)m2，所列方程为(40-2x)(26-x)＝ 144×6. 【解】方法1 ：设甬路的宽为x m， 根据题意，得40×26-（40x+2×26x-2x2）＝ 144×6， 整理，得x2-46x+88 ＝ 0， 解得x1 ＝ 44， x2 ＝ 2. 因为甬路的宽必须小于m，即小于20 m， 所以x＝ 44 不符合题意，舍去， 所以x＝2. 答：甬路的宽为2 m. 方法2 ：设甬路的宽为x m，将原图中三条甬路分别向上和向右平移至如图所示的位置. 根据题意，得(40-2x)(26-x)＝ 144×6 ， 整理，得x2-46x+88 ＝ 0， 解得x1 ＝ 44， x2 ＝ 2. 因为甬路的宽必须小于m，即小于20 m， 所以x ＝ 44 不符合题意，舍去， 所以x ＝ 2. 答：甬路的宽为2 m. 【题后总结】我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横三条路移动一下，使列方程容易些. 【问题3】 活动3（学生交流，教师点评） 例3　如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，当矩形花园的面积为300 m2时，求AB的长. 【解】设AB的长为x m，则BC的长为(50-2x)m. 根据题意，得x(50-2x)＝300. 解得x1＝10，x2＝15. 当x＝10时，AD＝BC＝50-2x＝30>25，不合题意，所以x＝10应该舍去； 当x＝15时，AD＝BC＝50-2x＝20<25，所以x＝15满足条件. 答：AB的长为15 m. 即学即练 如图所示，在长32 m、宽20 m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路(两条纵向、一条横向，横向与纵向互相垂直)，把耕地分成大小不等的六块作试验田，要使试验田总面积为570 m2，问道路应多宽？ 【解】设道路宽为x m. 由题意，得(32-2x)(20-x)＝570. 整理，得x2-36x+35＝0， 解得x1＝1，x2＝35. 经检验，x＝35＞20，不合题意，故舍去. 即道路宽为1 m. 课堂练习 1.某小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米.设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( 　 ) A. x(x-10)＝900 B. x(x+10)＝900 C.10(x+10)＝900 　 D.2[x+(x+10)]＝900 2.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为( ) A.(x+1)(x+2)＝18 B. x2-3x+16＝0 C.(x-1)(x-2)＝18 D.x2+3x+16＝0 3.一个直角三角形的两条直角边相