专题12 将军饮马模型-2023-2024学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题12 将军饮马模型 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 模型1、将军饮马--两定一动求线段和的最小值 【模型探究】A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小 。 图1 图2 （1）如图1，点A、B在直线m两侧： 辅助线：连接AB交直线m于点P，则AP+BP的最小值为AB. （2）如图2，点A、B在直线同侧： 辅助线：过点A作关于定直线m的对称点A’ ，连接A’B交直线m于点P，则AP+BP的最小值为A’B. 例1．（2022·福建·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 _____． 例2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，等边三角形的边上的高为6，是边上的中线，M是线段上的-一个动点，E是中点，则的最小值为_________． 例3．（2022·河南濮阳·八年级期末）如图，等边三角形的边长为5，A、B、三点在一条直线上，且．若D为线段上一动点，则的最小值是________． 例4．（2023.浙江八年级期中）如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为多少？ 模型2、将军饮马--两动一定求线段和的最小值 【模型探究】已知定点A位于定直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短. 辅助线：过点A作关于定直线m、n的对称点A’ 、A’’ ，连接A’A’’ 交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QA的最小值为A’A’’. 例1．（2022·江苏·无锡市八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（       ） A．30° B．45° C．60° D．90° 例2．（2022·湖北十堰·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，．在BC，CD上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为_________． 例3．（2022·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（ ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 例4．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）如图所示，，点为内一点，，点分别在上，求周长的最小值． 模型3、将军饮马--两动两定求线段和的最小值 【模型探究】A，B为定点，在定直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 （1）如图1，两个点都在直线外侧： 辅助线：连接AB交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为AB. （2）如图2，一个点在内侧，一个点在外侧： 辅助线：过点B作关于定直线n的对称点B’，连接AB’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QB的最小值为AB’. 图1 图2 （3）如图3，两个点都在内侧： 辅助线：过点A、B作关于定直线m、n的对称点A’ 、B’ ，连接A’B’ 交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QA的最小值为A’B’. （4）如图4，台球两次碰壁模型： 辅助线：同图3辅助线作法。 图3 图4 例1．（2022·和平区·八年级期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小=___． 例2．（2022·湖北武汉市·九年级期中）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且G（﹣3，0），B（﹣2，0），HC与GB关于y轴对称，∠GAH＝60°，P、Q分别是AG、AH上的动点