专题04 二次函数存在性问题训练4（菱形和正方形精选30道）-2023-2024学年九年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（浙教版）

专题04 二次函数存在性问题训练4 （菱形和正方形精选30道） 【类型一 菱形】 1．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点．    (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)当抛物线上的点在上方运动时，求面积的最大值． (3)已知点是抛物线对称轴上的一个点，点是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点，，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．综合与探究 如图，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且，是线段上的一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)设点的横坐标为．当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； (3)若点是直线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与一次函数（为常数）交于，两点，其中点坐标为．    (1)求点坐标； (2)点为直线上方抛物线上一点，连接、，当时，求点的坐标； (3)将抛物线（为常数）沿射线平移个单位，平移后的抛物线与原拋物线相交于点，点为抛物线的顶点，点为轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使得以点、、、为顶点且为对角线的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，已知二次函数图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点A为抛物线的顶点，连接．    (1)求； (2)如图1，点P在直线下方抛物线上的一个动点，过点P作交于点Q，过点P作轴交于点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点M在新抛物线对称轴上运动，点N是平面内一点，若以B、P、M、N为顶点的四边形是以为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并选择其中一个点的坐标写出求解过程． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．    (1)求这个二次函数的表达式． (2)连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点运动到什么位置时，使的面积最大，求出点的坐标和的面积最大值． 6．综合与探究 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线．        (1)求抛物线的解析式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若线段上有一点Q，则的最小值为 ． (4)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．综合与探究：如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线与抛物线的对称轴交于点E．将直线沿射线方向向下平移n个单位，平移后的直线与直线交于点F，与抛物线的对称轴交于点D．    (1)求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线的解析式； (2)当是以为斜边的直角三角形时，求出n的值； (3)直线上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，直线与坐标轴交于，，二次函数图像过A，B两点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，若点P在线段上，过点P作轴于点H，与抛物线交于点M，求线段的最大值； (3)如图2，点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点N是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、N、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点D，与轴x交于点E，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)连接，在抛物线上存在点P，使得，求出点P的坐标； (3)连接，点Q是线段上的一个动点，过点Q作的平行线l．在直线l上是否存在点H，使得以点Q，C，B，H为顶点的四边形为菱形，若存在，直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)若点在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，若点是对称轴上一点，点是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，且，如果存在