13.3 等腰三角形（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年八年级数学上册重难点突破+分层训练同步精讲练（人教版）

13.3等腰三角形（重难点） 【知识点一、 等腰三角形的性质】 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形．其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角． 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A是顶角，∠B、∠C是底角． （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）． 特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°． 等腰三角形的性质的作用 性质1证明同一个三角形中的两角相等．是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 【知识点二、等腰三角形的判定】 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）． 【知识点三、等边三角形的性质】 等边三角形定义：三边都相等的三角形叫等边三角形．　　 由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°． 考点1：利用等腰三角形求角 例1．如果等腰三角形的一个角为，则它的底角度数为（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式训练1-1】．等腰三角形的顶角是，则这个三角形的底角的大小是（    ） A． B．或 C． D． 【变式训练1-2】．若等腰三角形底角为，则顶角为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】．已知中，，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 考点2：利用等腰三角形求周长 例2．是等腰三角形，，则的周长为（   ） A．12 B．12或17 C．14或19 D．17或19 【变式训练2-1】．设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．20或25 【变式训练2-2】．等腰三角形的两条边长分别为2和4，则这个等腰三角形的周长为（   ） A．8或10 B．8 C．10 D．11 【变式训练2-3】．等腰三角形的两边长分别是4和8，则它的周长是（    ） A．16 B．20 C．16或20 D．18 考点3：数等腰三角形个数 例3．如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练3-1】．如图，AD＝BC，AB＝AC＝BD，∠C＝72°，则图中一共有（　　）个等腰三角形． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练3-2】．已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BE是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形一共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练3-3】．如图，若∠BAC=108°，∠DAC=72°，∠B=36°，则图中包含多少个等腰三角形？（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点4：含30度直角三角形 例4．如图，平分，点为射线上一点，过点作交于点，点为上一动点，连接，若，则线段长的最小值为 ．    【变式训练4-1】．如图，在中，，，，，是边上的两个动点，满足，连接、，求的最小值 .    【变式训练4-2】．如图，在中，已知，，．，在直线上．现将在直线上进行平移，当为直角三角形时，的长为 ． 【变式训练4-3】．如图，在中，，点是的中点，交于点，点在上，，，，则 ， ．    考点5：三线合一的应用 例5．如图，中，平分，点是线段延长线上一点，连接，点在的垂直平分线上，若，则的周长是 ．    【变式训练5-1】．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是12，腰的垂直平分线分别交，于点E、F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 【变式训练5-2】．如图，已知中，，是的平分线，如果的周长为，的周长为，那么的长是 ．    【变式训练5-3】．如图，在等腰中，，，．若，则的度数为 °．    考点6：尺规作图 例6．尺规作图 如图，已知线段c和，求作：等腰，使其底角等于，底边长等于.（不写作法保留作图）    【变式训练6-1】．已知：，射线上一点（如图所示）． 求作：等腰三角形，使线段为等腰三角形的底边，点在的内部，且点到两边的距离相等，（要求：请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）    【变式训练6-2】．如图1，在中，．用尺规作图，在线段上作点D，使得（不写作法，保留作图痕迹）． (1)如图2，小明的作法是：以点B为