4.3.2 等比数列的前n项和公式-2023-2024学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第二册）

第四章《数列》 4.3等比数列 4.3.2等比数列的前n项和公式 [核心素养·学习目标] 课程标准 课标解读 1． 掌握等比数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等比数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项. 2． 会利用等比数列性质简化求和运算，会利用等比数列前n项和的函数特征求最值. 3． 能处理与等比数列相关的综合问题 通过本节课的学习，要求能掌握等比数列的通项与前n项和的相关计算公式，能熟练处理与等比数列的相关量之间的关系，用函数的思想解决等比数列的相关问题，会利用等比数列的性质灵活解决与之相关的问题. 课前预习 一、等比数列的前n项和 1．等比数列的前n项和公式 2．等比数列前n项和的性质 若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{an}是 ． 3.两个常用的结论： 若数列{an}是公比为q的等比数列，则 ①Sn＋m＝Sn＋qnSm. ②在等比数列中，若项数为2n(n∈N＋)，则＝q. ③Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列． 4.等比数列求和公式的应用技巧 1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”． 2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式， 的情况． 3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列且公比为q，求数列 的前n项和时，可采用错位相减法的方法求解． 二、等比数列和及综合应用 1．解应用问题的核心是建立数学模型． 2．解决等比数列前n项和的实际应用的一般步骤：(1)审题——(2)建模——(3)求解——(4)还原 3．求解等比数列前n项和的实际问题要注意的问题 (1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答． (2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确． (3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系． (4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求． 4.两个常用的结论： (1)等额本金还款法：即将本金平均分配到每一期进行偿还，每期还款金额＝＋(贷款本金－已还本金总额)×利率． (2)等额本息还款法：即将本金和利息平均分配到每一期进行偿还． 每期还款金额＝，其中A0为贷款时的资金，r为银行贷款月利率，m为还款总期数(单位：月)． 知识讲解 1.等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1，项数n与公比q 首项a1，末项an与公比q 公式 Sn＝ Sn＝ 2.等比数列前n项和公式的函数特征 当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数. 当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数. 3. 等比数列前n项和的性质 等比数列{an}前n项和的三个常用性质 (1)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列. (2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*). (3)若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中， ＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋… －a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1). 【大招总结】 已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质： (1). (2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为. (3)若{}共有2n(n)项，则=q； 若{}共有(2n+1)(n)项，则=q. 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 二级结论总结 1.一般地，使用等比数列求和公式时需注意 (1) 一定不要忽略q＝1的情况；在应用公式求和时，应注意到Sn＝的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1. (2) 知道首项a1、公比q和项数n，可以用；知道首尾两项a1，an和q，可以用； (3) 在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个. 2.数列求和的常用方法 (1)公式法求和 ①直接用等差、等比数列的求和公式. ②掌握一些常见的数列的前n项和公式. (2)倒序相加法求和 如果一个数列{}中，与首、末两项“等距离”的两项,的和相等，那么求这个数列的前n项和可用倒序 相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的. (3)错位相减法求和 错位相减法求和适用于型数列，其中、分别是等差数列和等比数列. (4)裂项相消法求和 利用裂项相消法求