24.4 弧长和扇形面积（讲+练，7题型）-【题型分类归纳】2022-2023学年九年级数学上册同步讲与练（人教版）

24.4 弧长和扇形面积 一、弧长和扇形面积 1、扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 注：扇形的面积除了与圆的半径有关外还与组成扇形的圆心角的大小有关。圆心角越大，扇形面积也就越大。 2、弧长公式：在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以1°的圆心角所对的弧长是，即. 于是°的圆心角所对的弧长为 。 3、扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是1°的扇形面积是，于是圆心角为n°的扇形面积是 。 4、扇形面积公式与孤长公式联系：，其中为扇形的孤长，为半径。 二、圆锥的侧面积和全面积 1、圆锥：由一个底面和一个侧面围成的几何体。把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。 2、圆锥的侧面积和全面积：设圆锥的母线长为，底面圆的半径为,那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为，圆锥的侧面积为，圆锥的全面积为。 注：圆锥的侧面展开图是一个扇形。 题型一 弧长的认识与运用 【例1】如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯路的长度为 ．   【变式1-1】如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为 ． 【变式1-2】如图，扇形AOB的圆心角为90°，C是的中点，过点C作的切线交OB的延长线于点E，若，则阴影部分的周长为 ． 【变式1-3】如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝AD＝2，则的长为 ． 【变式1-4】以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，点P是切点．，，求的长（结果保留）． 题型二 扇形半径与扇形面积 【例2】若一个扇形的半径为3，圆心角是120°，则它的面积是 ． 【变式2-1】如图，正五边形ABCDE边长为6，以A为圆心，AB为半径画圆，图中阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【变式2-2】钟面上的分针的长为1，从9点到9点15分，分针在钟面上扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长20πcm，则此扇形的半径是 cm，面积是 cm2． 【变式2-4】如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．AB=4，∠BAC=45°，求阴影部分的面积． 题型三 弓形/不规则图形的面积 【例3】如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为 结果保留．    【变式3-1】如图，已知的半径为2，内接于，，则弓形（阴影部分）的面积为 ． 【变式3-2】如图，扇形纸片的半径为3，沿折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为 ． 【变式3-3】如图，是的直径，是弦，直线经过点C，于点D，．    （1）求证：是的切线； （2）若的半径为6，，求图中阴影部分的面积． 【变式3-4】如图为的直径，且，点是弧上的一动点（不与，重合），过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接．    （1）若，求线段的长度； （2）求证：是的切线； （3）当时，求图中阴影部分面积． 题型四 求圆锥侧面积/底面半径/高 【例4】一个圆锥的底面直径是8，母线长是9，则圆锥侧面展开图的面积是__________． 【变式4-1】圆锥的底面半径，高，则圆锥的侧面积是 ． 【变式4-2】一个圆锥的母线长为，侧面展开图的面积是，则该圆锥的底面半径为 ． 【变式4-3】如图，有一块半径为，圆心角为的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为 ． 【变式4-4】如图，已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为9cm，圆心角为120°的扇形．求： （1）圆锥的底面半径； （2）圆锥的全面积． 题型五 求圆锥侧面展开图的圆心角 【例5】若圆锥的母线长为3，底面半径是1．则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 度． 【变式5-1】圆锥的底面半径是1，高是，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 ． 【变式5-2】一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面半径为，母线长为，围成这样的冰淇淋纸筒所需扇形纸片的圆心角的度数为 ． 【变式5-3】如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，该圆锥的母线长，则扇形的圆心角度数为 ． 【变式5-4】如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮