专题5.3 平面向量的数量积（讲+练）-2024年高考数学一轮复习精讲精练宝典（新高考专用）

第五章 平面向量和复数 专题5.3 平面向量的数量积 1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义. 2.了解平面向量的数量积与投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题． 考点一　平面向量数量积的定义 考点二　平面向量数量积的运算 考点三 数量积的坐标表示 考点四 投影向量 知识梳理 1.向量的夹角 给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉. 2.平面向量的数量积 一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|·cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. 3.平面向量数量积的几何意义 (1)设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′(如图)，则称向量为向量a在直线l上的投影向量或投影. (2)给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影，如图，向量a在向量b上的投影为.一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，它们的方向既有可能相同，也有可能相反. (3)一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|·cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量，投影的数量与投影的长度有关，投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.a·b等于a在b上的投影的数量与b的模的乘积，即a·b＝(|a|cos〈a，b〉)|b|.特别地a·e＝|a|cos〈a，e〉，其中e为单位向量. 4．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 5．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 第一部分 核心典例 题型一 平面向量数量积的定义 1．已知向量与的夹角为60°，其中，，则（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 2．已知点是边长为2的正的内部（不包括边界）的一个点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．若均为非零向量，则是与共线的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 4．在中，，若，则下列结论正确的为（    ） A．一定为钝角三角形 B．一定不为直角三角形 C．一定为锐角三角形 D．可为任意三角形 5．设是不共线的两个向量，若命题p：，命题q：夹角是锐角，则命题p是命题q成立的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二　平面向量数量积的运算 6．已知平面向量、满足，若，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．已知单位向量是平面内的一组基底，且，若向量与垂直，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 8．已知向量与向量的夹角为120°，，则（    ） A．3 B． C． D．1 9．已知MN是边长为的等边外接圆的一条动弦，，P为边上的动点，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 10．若向量，满足，且，，则（    ）． A．2 B． C．1 D． 题型三 数量积的坐标表示 11．已知平面向量，满足，，且，则实数的值为（       ） A． B． C．2 D．3 12．已知边长为2的菱形中，，点E是BC上一点，满足，则（    ） A． B． C． D． 13．已知向量，，，则（    ） A．14 B． C．50 D． 14．已知中，，，点为的中点，点为边上一动点，则的最小值为（   ） A．27 B．0 C． D． 15．已知向量，，且（    ） A．5 B． C．11 D． 题型四 投影向量 16．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 17．已知向量与的夹角为，且满足，，则在上的投影向量为（    ） A．1 B． C． D． 18．已知为单位向量，，向量，的夹角为，则在上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 19．已知，为单位向量，若向量与的夹角的正弦值为，则向量在上的投影向量为（    ） A