专题05 二次函数和一元二次方程、不等式（4知识点+6题型）-【专题突破】2023-2024学年高一数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019必修第一册）

专题05 ：二次函数和一元二次方程、不等式（4知识点+4题型） 二次函数和一元二次方程、不等式 常考题型 不等式恒成立问题 绝对值不等式解法 分式不等式的解法 一元二次不等式及解法 题型一：不含参的不等式解法 题型二：已知一元二次方程不等式的解集，求参数问题 题型三：含参的不等式解法 题型四：恒成立问题 知识点一：一元二次不等式 1.一元二次不等式的定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是，其中均为常数，. 2.一元二次不等式的解集 满足一元二次不等式的实数组成的集合叫做一元二次不等式的解集，即或. 3.一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤是：方法一： （1） 对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零，即标准形式（或＜0或≥0或≤0），. （2） 计算相应方程的根的判别式； （3） 当时，求出相应的一元二次方程两根. （4） 根据一元二次不等式解的结构，写出解集. （5）当时，二次函数图象开口向上． （6）①若，解集为． ②若，解集为． ③若，解集为． （2） 当时，二次函数图象开口向下． ①若，解集为 ②若，解集为 三个“二次”之间的关系如图： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式Δ ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 解不等式 f(x)>0 或f(x)<0 的步骤 求方程f(x)＝0的解 有两个不等的实数解x1，x2 有两个相等的实数解x1＝x2 没有实数解 画函数y＝f(x)的示意图 不等式 的解集 f(x)>0 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠－} R f(x)<0 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 知识点二、分式不等式的解法 分式不等式的解法 （1） （2） （3） （4） 知识点三：绝对值不等式解法 绝对值不等式的解法 （1） （2）； ； （3） 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解 知识点四：不等式恒成立问题 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足； (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足. （5）)对于ax2＋bx＋c>0不等式恒成立时，最高次数的系数含参要考虑为零情况。 2．区间恒成立问题. 函数在某区间恒成立时，若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解． 设f(x)的最大值为M，最小值为m. (1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m. (2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M. 题型一：不含参的不等式解法 解题思路：一元二次不等式解法 （5） 对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零，即标准形式（或＜0或≥0或≤0），. （2）①若，解集为． ②若，解集为． ③若，解集为． 当时，二次函数图象开口向下． ①若，解集为 ②若，解集为 分式不等式的解法 （1） （2） （3） （4） 绝对值不等式的解法 （1） （2）； ； 例1．（多选题）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则解集为 B．若，则解集为 C．若，则解集为 D．若，则解集为 例2．不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 例3．不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 4．不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 5．不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 6．关于x的不等式的解集为 . 7．不等式的解集是 -. 8．求不等式的解集： ． 题型二：已知一元二次方程不等式的解集，求参数问题 解题思路：利用一元二次方程不等式的解集，即为这个解集两个数为这个方程的两个根；在利用韦达定理求参数。 例1．已知的解集是，则 ， 例2．已知不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 例3．已知不等式的解集为，且，则（    ） A．－1 B．1 C．3 D．－1或3 例4．（多选题）关于的不等式的解集为，则下列正确的是（    ） A． B．关于的不等式的解集为 C． D．关于的不等式的解集为 变式训练 5．已知不等式的解集为，则 ． 6．已知不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C．或 D