2初中几何模型之角(平分线）

角(双角平分线)模型 角 由一点引出两条射线组成的图形叫角，这个点是角的顶点，两条射线是角的边 角的表示方法： ∠O ∠AOB或∠BOA ∠1 角的和与差 则∠AOC=∠AOB+∠BOC； ∠AOB=∠AOC-∠BOC； ∠BOC=∠AOC-∠AOB； 角的平分线 从角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫这个角的平分线。 如图OC是∠AOB的平分线，我们可以得到如下结论： ∠AOC=∠BOC=∠AOB ∠AOB=2∠AOC=2∠BOC 结论1 已知OC为∠AOB内一条射线，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOC，则∠POQ=∠AOB 证明：∵OP平分∠AOC，ON平分∠BOC ∴∠POC=∠AOC，∠QOC=∠BOC ∴∠POQ=∠POC+∠QOC=∠AOC+∠BOC =∠AOC+∠BOC) =∠AOB 结论2 已知OC为∠AOB外一条射线，OP平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠POQ=∠AOB 证明：∵OP平分∠AOC，ON平分∠BOC ∴∠POC=∠AOC，∠QOC=∠BOC ∴∠POQ=∠QOC-∠POC=∠BOC-∠AOC =∠BOC-∠AOC) =∠AOB 总 结 无论OC在∠AOB内还是在∠AOB外，∠POQ的大小与∠AOC和∠BOC的大大小无关，即∠POQ=∠AOB 简记： 一半一半又一半 模型拓展 已知OB，OD分别平分∠AOC，∠COE，A，O，E在同一条直线上。 解析：∵OB平分∠AOC，OD平分∠COE ∴∠AOC=2∠1，∠COE=2∠3 ∵A,O,E在一条直线上 即∠AOE=180° ∴∠AOC+∠COE=2∠1+2∠3=180° ∴∠1+∠3=90° 即∠BOD=90° ∴OB⊥OD 模型拓展(三个角围成一个周角） 已知∠AOB+∠AOC+∠BOC=360°， OP平分∠AOC，OQ平分∠BOC O 结论：∠POQ=180°- 解析：∵OP平分∠AOC，OQ平分∠BOC ∴∠AOC=2∠POC，∠BOC=2∠QOC ∵360°-∠AOB=∠AOC+∠BOC ∴360°-∠AOB=2∠POC+2∠QOC ∴180°- ∠AOB=∠POC+∠QOC ∴180°- ∠AOB=∠POQ 针对训练 1、如图，∠AOB=90°，OC是∠AOB外任意一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，若∠DOE的度数是α，则( ) A.45°<α<90° B.0°<α<45° C.α=45° D.α随射线OC位置的变化而变化 分析：∵∠AOB=90°，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC ∴∠DOE=∠DOC-∠EOC=∠AOC-BOC =∠AOC-BOC) =∠AOB =45° C 针对训练 2、已经∠AOB=70°，OM平分∠AOB，∠BOC=20°，ON平分∠BOC，则∠MON的度数为 。 分析：OC位置不确定，所以需要分类讨论 ②OC在∠AOB外部 ①OC在∠AOB内部 由题意知∠MON=∠MOB-∠NOB =∠AOB-∠BOC =35°-10° =25° 25°或45° 依据模型 ∠MON=∠AOC =45° 针对训练 3、如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB和∠AOC的度数。 分析：∵∠AOB=90°，OE平分∠AOB ∴∠BOE=∠AOB=45° ∵OF平分∠BOC ∴∠BOF=∠EOF-∠BOE=60°-45°=15° ∴∠COB=2∠BOF=15°×2=30° ∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120° 针对训练 4、将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠(点F在BC上，不与B、C重合)，使点C落在长方形内部点E处，若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数是 。 分析：∵折叠 ∴∠CFG=∠EFG ∵FH平分∠BFE ∴∠EFH=∠BFH ∴邻补角的角平分线互相垂直的模型 即GF⊥FH ∴∠GFH=90° 90° 针对训练 5、OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∠MON=m°，∠BOC=n°，则∠AOD的度数为 。 分析：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD ∴∠COD=2∠CON，∠AOB=2∠B