难关必刷01相似三角形（5种解题模型专练）-【满分全攻略】2023-2024学年九年级数学同步讲义全优学案（沪教版）

难关必刷01相似三角形（5种解题模型专练） 【模型梳理】 题型一：8字模型 8字_平行型 条件：CD∥AB, 结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似); 左右不一定相似,不一定全等，但面积相等; 四边形ABCD为一般梯形. 条件：CD∥AB,PD=PC. 结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似) ΔPAD≅ΔPBC左右全等； 四边形ABCD为等腰梯形； 8字_不平行型 条件：∠CDP=∠BAP. 结论：ΔAPB∼ΔDPC(上下相似); ΔAPD∼ΔBPC(左右相似); 题型二：A字模型 如图一 如图二 如图三 题型三：一线三等角模型 一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。或叫 “K字模型”。 三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下： 当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。 一般类型： 基本类型： 同侧“一线三等角” 异侧“一线三等角” 模型一：一线三直角 图一 图二 模型二：一线三等角 图三 图四 【方法点拨】基本模型： 如图1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一线三等角） 如图2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一线三等角） 如图3，特别地，当D时BC中点时：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，FD平分∠EFC. 题型四：旋转相似 【方法点拨】基本模型： 旋转放缩变换，图中必有两对相似三角形. 题型五：母子型 “子母型”相似的图形特点：有一个公共角，                             一对完全重合的边，                             一对半重合的边，                             一对完全不重合的边。 子母型的结论：AB²=AD·AB   (重合边的平方等半重合边的乘积)                    特殊的子母型（双垂直型） 【方法点拨】 图1垂直母子型条件：，图1结论：； 图2斜交母子字型条件：，图2结论：； 【题型专练】 题型一：8字模型 1．（2023•普陀区一模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC上一点，AE∥CD，AE、BD相交于点F，EF：CD＝1：3． （1）求的值； （2）联结FC，设，，那么＝　　，＝　　.（用向量、表示） 2．（2023•青浦区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点F在边AD上，射线BA、CF相交于点E，DF＝2AF． （1）求EA：AB的值； （2）如果，，试用、表示向量． 3．（2022秋•金山区校级期末）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G，AF2＝FG•FE． （1）求证：△CAD∽△CBG； （2）联结DG，求证：DG•AE＝AB•AG． 4．（2022秋•奉贤区期中）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC．E为边CB延长线上一点，联结DE交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且＝． （1）求证：AB∥CD； （2）如果AE2＝AG•AC，求证：＝． 5．（2022•松江区二模）已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F． （1）求证：； （2）如果BE2＝BF•BD，求证：DF＝BE． 6．（2023•宝山区二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，OB＝OC． （1）求证：AB＝CD； （2）E是边BC上一点，联结DE交AC于点F，如果AO2＝OF•OC，求证：四边形ABED是平行四边形． 7．（2022秋•徐汇区期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE•BD． （1）求证：△ABE∽△DCE； （2）AE•CD＝BC•ED． 8．（2022春•杨浦区校级期中）如图1，在△ABC中，点E在AC的延长线上，且∠E＝∠ABC． （1）求证：AB2＝AC•AE； （2）如图2，D在BC上且BD＝3CD，延长AD交BE于F，若＝，求的值． 9．（2023•崇明区二模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角