难关必刷01有理数与整式加减综合之规律探究与新定义（解答40题专练）-2023-2024学年七年级数学上学期期中考点大串讲（人教版）

难关必刷01有理数与整式加减综合之规律探究与新定义（解答40题专练） 一、解答题 1．（2022秋·江西景德镇·七年级统考期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，，如：，． 材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，． (1)______，=______； (2)求的值： (3)若有理数m，n满足，请直接写出的结果． 2．（2022秋·浙江台州·七年级校考期中）定义：对于任意的有理数a，b， (1)探究性质： ①例：_________；_________；_________；________； ②可以再举几个例子试试，你有什么发现吗？请用含a，b的式子表示出的一般规律； (2)性质应用： ①运用发现的规律求的值； ②将，，，……，7，8这20个连续的整数，任意分为10组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a，另一个记作b，求出，10组数代入后可求得10个的值，则这10个值的和的最小值是　　． 3．（2022秋·浙江温州·七年级校联考期中）如图，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等． 6 (1)可求得　　，第2022个格子中的数为 　　； (2)求前2022个格子中所填整数之和的值； (3)若前个格子中所填整数之和，求的值．（直接写出答案即可） 4．（2022秋·浙江温州·七年级校考期中）我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项目研究．结合本阶段学内容特点，他们决定研究数的一些“神秘”性质． 探索数的神秘性质 素材 尼科马霍斯是古希腊数学家，他的著作《算术入门》中记载了各种数分门别类的整理成果，其中任何一个整数m的立方都可以写成m个连续奇数之和． 举例论证： ；；； 请你按规律写出： ． 规律总结 当m是奇数7时，则等号右边式子中的中间数（即第4个数）为 ； 当m为偶数10时，则等号右边式子中的中间两个数（即第5和第6个数）为 ． 综合应用 利用上面结论计算：． 拓展延伸 我们还发现以下规律：已知，，且m，n均为正整数，如果将进行如图所示的“分解”：    若（且m，n均为不大于7的正整数）的分解中有奇数31，则的值为 ． 5．（2021春·山东青岛·七年级校考期中）问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义推证完全平方公式．将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1，这个图形的面积可以表示成：或，∴，这就验证了两数和的完全平方公式． 问题提出： 如何利用图形几何意义的方法推证：，如图2，A表示1个1×1的正方形，即：，B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：，而A、B、C、D恰好可以拼成一个的大正方形，由此可得：． (1)尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证：___________（要求自己构造图形并写出推证过程）． (2)类比归纳：请用上面的表示几何图形面积的方法探究：___________（要求直接写出结论，不必写出解题过程）． (3)实际应用：图3是由棱长为1的小正方体搭成的大正方体，图中大小正方体一共有多少个？为了正确数出大小正方体的总个数，我们可以分类统计，即分别数出棱长是1，2，3和4的正方体的个数，再求总和．例如：棱长是1的正方体有：个，棱长是2的正方体有：个，棱长是3的正方体有：个，棱长是4的正方体有：个，然后利用（3）类比归纳的结论，可得：___________=___________． (4)图4是由棱长为1的小正方体成的大正方体，图中大小正方体一共有___________个． (5)逆向应用：如果由棱长为1的小正方体搭成的大正方体中，通过上面的方式数出的大小正方体一共有3025个，那么棱长为1的小正方体一共有___________个． 6．（2020秋·浙江宁波·七年级校考期中）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）记作（-3）④，读作“-3的圈4次方”，一般地，把 （a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈 n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：2③=___，（）⑤=___； （2）关于除方，下列说法错误的是___ A．任何非零数的圈2次方都等