专题12 指数-2023-2024学年高一数学【考点精析+真题精讲+题型突破+专题精练】（人教A版2019必修第一册）

2023-2024高一数学必修第一册 专题12指数 №考向解读 ➊考点精析 ➋真题精讲 ➌题型突破 ➍专题精练 第四章指数函数与对数函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 专题12 指数 →➊考点精析← 1整数指数幂的概念及运算性质 ①整数指数幂的概念 ②运算法则 （1）； （2）； （3）； （4）． 2根式的概念和运算法则 ①次方根的定义： 若，则称为的次方根． 为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为． 为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． ②两个等式 （1）当且时，； （2） ③要注意上述等式在形式上的联系与区别； ④计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误． 3分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： 4有理数指数幂的运算 ①有理数指数幂的运算性质 （1） （2） （3） 当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用． ②知识点诠释： （1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； （2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如； （3）幂指数不能随便约分．如． 5指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算． 6无理数指数幂 一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 【注意】 （1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点： ①它是一个确定的实数； ②它是有理数指数幂无限逼近的结果． （2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 7实数指数幂的运算性质 ①． ②． ③． →➋题型突破← 【题型】由根式的意义求范围 1.若有意义，则的取值范围是（    ） A． B．∪ C． D． 【答案】D 【解析】因为，则，解得. 故选：D. 2.若，，则下列四个式子中有意义的是( ) A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】A选项中，为偶数，则恒成立，A中式子有意义； B选项中，，无意义； C选项中，为恒大于或等于0的数，有意义； D选项中，当时，式子无意义． 故选：AC． 3.若要使有意义，则取值范围是_______. 【答案】 【解析】∵， 要使有意义，则，即， ∴. 故答案为：. 【题型二】利用根式的性质化简或求值 3.若，则的值为（　　） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为，所以. 故选：C 4．(2021·上海高一专题练习)求下列各式的值. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)-2；(2)；(3)π-3；(4). 【解析】(1)=-2； (2)； (3)=|3-π|=π-3； (4)原式=， 当x≥y时，原式=x-y+y-x=0； 当x<y时，原式=y-x+y-x=2(y-x). 所以原式= 【题型三】有限制条件的根式的化简 5.求使等式成立的实数a的取值范围. 【解析】， 要使|成立， 需解得a∈[-3，3]． 【题组四】 根式与分数指数幂的互化 6.已知，为正数，化简_______． 【答案】 【解析】原式． 故答案为：． 7.(2021·上海高一专题练习)将下列根式化成有理数指数幂的形式： (1)(a>0)； (2)(x>0)； (3)(b>0). 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】(1)原式====. (2)原式======. (3)原式===. 【题型五】利用分数指数幂的运算性质化简求值 8.（2022·江苏省灌南高级中学高一阶段练习）化简的结果为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】 故选：C 9．(2021·全国)计算__________；若，则_________． 【答案】 【解析】由 由 故答案为：；． 10．(2021·全国高一课时练习)化简下列各式： (1)； (2)； (3)＋＋－×. 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】(1)原式； (2)原式 ； (3)原式 . 【题型六】整体代换法求分数指数幂 11．（2022·广东中山·高一阶段练习）已知，则__________. 【答案】 【解析】因为，所以，即 所以， 故答案