专题14 对数-2023-2024学年高一数学【考点精析+真题精讲+题型突破+专题精练】（人教A版2019必修第一册）

2023-2024高一数学必修第一册 专题14对数 №考向解读 ➊考点精析 ➋真题精讲 ➌题型突破 ➍专题精练 第四章指数函数与对数函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 专题14 对数 →➊考点精析← 1、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 知识点诠释： 对数式中各字母的取值范围是：且，，． 2、对数（且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． 3、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 4、对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 知识点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： ， ， ． 5、对数恒等式： 6、换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） 令，则有，，即，即，即：． （2），令，则有，则有 即，即，即 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：． →➋题型突破← 【题型一】对数的定义 1.已知对数式有意义，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由有意义可知，解得且， 所以a的取值范围为. 故选：B 2.若有意义，则实数k的取值范围是______. 【答案】 【解析】若有意义，则满足，解得. 故答案为： 【题型二】指数式与对数式互化及其应用 3.有以下四个结论，其中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】B 【解析】因为，，所以A错误，B正确；若，则，故C错误；，而没有意义，故D错误． 故选：B. 4.将（且）转化为对数形式，其中错误的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【解析】根据对数式与指数式的关系， 若，则，即，所以A正确； 若，则，即，所以B正确； 若，则，即，所以C正确； 由得，与已知不等，所以D错误. 故选：D. 【题型三】利用对数恒等式化简求值 5.计算：___________.（可保留根式） 【答案】 【解析】. 故答案为： 6．（2022·贵州·遵义四中高一期末）______． 【答案】 【解析】. 故答案为：. 【题型四】积、商、幂的对数 7．（2022·全国·高一专题练习）计算 (1) (2) 【解析】（1）; （2）. 8.计算=________. 【答案】 【解析】 . 故答案为：. 【题型五】一类与对数有关方程的求解问题 9.（2022·江苏省如皋中学高一阶段练习）解关于的方程. (1)； (2). 【解析】（1）即， 令（），原方程可化为， 解得（舍）或， ∴，∴，即. ∴原方程的解为. （2）原方程中需满足，即， ∵ ∴ ∴， ∴ 即， 解得（舍）或 ∴原方程的解为. 10.解关于的方程： (1)； (2)； 【解析】（1）令，则原可式化为， 解得（舍去），（可取），即， ∴； （2）令，则原式变为， 即，解得或， 当时， 解得或，都不符合题意，舍去， 当时， 解得，解得（舍去）或（可取）， 综上. 【题型六】对数运算法则的应用 11．（2022·全国·高一课时练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【解析】（1）方法一：（直接运算）原式． 方法二：（拆项后运算）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． 【题型七】换底公式的运用 12．（2022·全国·高一单元测试）化简____________ 【答案】2 【解析】原式 . 故答案为：2. 13．（2022·全国·高一专题练习）若，且，，，则的值是____． 【答案】4 【解析】令． 则，，． ，    ， ， ， 则， 则． 故答案为：4. 【题型八】由已知对数求解未知对数式 14.（2022·全国·高一课时练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B 15．（2022·全国·高一专题练习）（1）已知，，试用表示； （2）已知，，试用表示