第二章 一元二次函数、方程和不等式（压轴必刷30题4种题型专项训练）-【满分全攻略】2023-2024学年高一数学同步讲义全优学案（人教A版2019必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程和不等式（压轴必刷30题4种题型专项训练） 一．等式与不等式的性质（共1小题） 1．（2022秋•黄浦区校级期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”．同时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”； （1）试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，判断点P（a+c，b+d）是否既是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数（a，b）满足以下条件：对集合{t|0＜t＜2019，t∈Z}内的任意元素m，总存在正整数k．使得点（n，k）既悬点（2019，m）的“下位点”，又是点（2020，m+1）的“上位点”，求正整数n的最小值（直接写结果，无需推导）． 二．基本不等式及其应用（共5小题） 2．（2022秋•苏州期中）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足x＝4﹣（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）． （1）将该厂家2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数； （2）该厂家2013年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？ 3．（2022秋•雁塔区校级期中）运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元． （1）求这次行车总费用y关于x的表达式； （2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 4．（2023春•福州期末）某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成．已知该货轮每小时的燃料费用w与其航行速度x的平方成正比（即：w＝kx2，其中k为比例系数）；当航行速度为30海里/小时时，每小时的燃料费用为450元，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时． （1）请将从甲地到乙地的运输成本y（元）表示为航行速度x（海里/小时）的函数； （2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？ 5．（2023秋•连云区校级月考）如图，ABDC为梯形，其中AB＝a，CD＝b，设O为对角线的交点．GH表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段，EF表示平行于两底且过点O的线段，MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段，试研究线段GH，KL，EF，MN与代数式，，，之间的关系．并据此得到它们之间的一个大小关系．你能用基本不等式证明所得的结论吗？ 6．（2022秋•桐城市校级月考）某展览馆用同种规格的木条制作如图所示的展示框，其内框与外框均为矩形，并用木条相互连结，连结木条与所连框边均垂直．水平方向的连结木条长均为8cm，竖直方向的连结木条长均为4cm，内框矩形的面积为3200cm2．（不计木料的粗细与接头处损耗） （1）如何设计外框的长与宽，才能使外框矩形面积最小？ （2）如何设计外框的长与宽，才能使制作整个展示框所用木条最少？ 三．二次函数的性质与图象（共19小题） 7．（2022秋•朝阳区校级期中）已知函数f（x）＝2x2+mx+n的图象过点（0，﹣1），且满足f（﹣1）＝f（2）． （1）求函数f（x）的解析式； （2）设函数f（x）在[a，a+2]上的最小值为h（a），求h（a）的值域； （3）若x0满足f（x0）＝x0，则称x0为函数y＝f（x）的不动点．函数g（x）＝f（x）﹣tx+t有两个不相等的不动点x1，x2，且x1＞0，x2＞0，求的最小值． 8．（2022秋•启东市校级期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0），对任意实数x，不等式恒成立． （1）求a+b+c的值； （2）若该二次函数有两个不同零点x1、x2． ①求a的取值范围； ②证明：x1x2为定值． 9．（2022秋•爱民区校级期中）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+3． （1）当a＝1时，求函数f（x）在x∈[﹣1，2]的值域； （2）当a∈R时，记f（x）在区间[﹣1，2]的最小值为g（a）． ①求g（a）的表达式； ②在给出的坐标系中作出y＝g（a）的图象，并求满足g（a）＝1的实数a的值． 10．（2022秋•番禺区校级期中）已知函数f（