第二章 等式与不等式（压轴必刷30题7种题型专项训练）-【满分全攻略】2023-2024学年高一数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第一册）

第二章 等式与不等式（压轴必刷30题7种题型专项训练） 一．等式与不等式的性质（共2小题） 1．（2022秋•黄浦区校级期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”．同时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”； （1）试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，判断点P（a+c，b+d）是否既是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数（a，b）满足以下条件：对集合{t|0＜t＜2019，t∈Z}内的任意元素m，总存在正整数k．使得点（n，k）既悬点（2019，m）的“下位点”，又是点（2020，m+1）的“上位点”，求正整数n的最小值（直接写结果，无需推导）． 2．（2020秋•普陀区校级期中）若实数x、y、m满足|x﹣m|＞|y﹣m|，则称x比y远离m． （1）若x2﹣1比1远离0，求x的取值范围； （2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab． 二．基本不等式及其应用（共3小题） 3．（2021秋•闵行区校级期中）问题：正数a，b满足a+b＝1，求的最小值． 其中一种解法是：， 当且仅当且a+b＝1时，即且时取等号． 学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数x，y满足xy＝3x+y，求x+y的最小值； （2）若实数a，b，x，y满足，试比较a2﹣b2和（x﹣y）2的大小，并指明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 4．（2020秋•浦东新区校级期末）近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本y（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式为y＝2x2+（15﹣4k）x+120k+8，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为k万元，除尘后当日产量x＝1时，总成本y＝142． （1）求k的值； （2）若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？ 5．（2020秋•浦东新区校级期中）公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变． （1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排查，设每个组x个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？ （2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排查的方法并不是很好，或可将这些组的血样在进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排查，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？ （3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案． 三．其他不等式的解法（共10小题） 6．（2022秋•黄浦区校级期中）（1）关于x的不等式（a2﹣16）x2﹣（a﹣4）x﹣1≥0的解集为∅，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）设（1）中a的整数值构成集合A，（2）中不等式的解集是B，若A∩B中有且只有三个元素，求实数m的取值范围． 7．（2022秋•宝山区校级月考）定义区间（c，d），[c，d），（c，d]，[c，d]的长度均为d﹣c，其中d＞c． （1）若关于x的不等式2ax2﹣12x﹣3＞0的解集构成的区间的长度为，求实数a的值； （2）已知实数a，b（a＞b），求解集构成的各区间长度和； （3）已知关于x的不等式组的解集构成的各区间长度和为6，求实数t的取值范围． 8．（2021秋•浦东新区校级月考）不等式的解集为A，关于x的不等式3x2+（5+3a）x+5a＜0的解集为B． （1）求集合A，集合B； （2）若集合A⋂B⋂N中有2021个元素，求实数a的取值范围． 9．（2020秋•奉贤区校级月考）定义区间（c，d），[c，d），（c，d]，[c，d]的长度均为d﹣c（d＞c）． （1）不等式x2﹣2x﹣