专题10 幂函数-2023-2024学年高一数学【考点精析+真题精讲+题型突破+专题精练】（人教A版2019必修第一册）

2023-2024高一数学必修第一册 专题10幂函数 №考向解读 ➊考点精析 ➋真题精讲 ➌题型突破 ➍专题精练 第三张章函数的概念及性质 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 专题10幂函数 →➊考点精析← 1幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中为常数． 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量，系数为1，指数为常数．例如：等都不是幂函数． 2幂函数的图象及性质 ①．作出下列函数的图象： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； （2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 3作幂函数图象的步骤如下： （1）先作出第一象限内的图象； （2）若幂函数的定义域为或，作图已完成； 若在或上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象． 4幂函数解析式的确定 （1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3）如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即． 5幂函数值大小的比较 （1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． （2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． （3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． →➋题型突破← 【题型一】幂函数的概念 1．（全国·高一课时练习）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个 故选：B 2．（河北·高一阶段练习）下列函数，既是幂函数，又是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据幂函数的定义：形如的函数是幂函数，排除A； 的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶的函数，所以排除B; 是偶函数，所以排除C； ，既是幂函数，又是奇函数，所以选D. 故选：D. 【题型二】求函数解析式 3．（全国·高一专题练习）幂函数的图象恒过点_________，若幂函数的图象过点，则此函数的解析式是____________． 【答案】          【解析】由幂函数的性质知：在第一象限恒过， 设幂函数，则，即，故. 故答案为：，. 4．（浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），那么这个幂函数的解析式为___________． 【答案】 【解析】设幂函数， ∵幂函数的图象经过点， ∴，∴， ∴这个幂函数的解析式为． 故答案为：． 5．（全国·高一课时练习）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式． 【解析】因为幂函数在区间上单调递减，则，得， 又∵，∴或1． 因为函数是偶函数，将分别代入， 当时，，函数为是偶函数，满足条件. 当时，，函数为是偶函数，满足条件. 的解析式为． 【题型三】定义域问题 6．（全国·高一专题练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知解得，所以f(x)的定义域为． 故选：B． 7．（上海·高一单元测试）若有意义，则实数的取值范围是________ 【答案】 【解析】若有意义， 则， 解得 所以实数的取值范围是， 故答案为： 【题型四】值域问题 8．（全国·高一课时练习）已知幂函数的图象过点(9,3)，则函数在区间［1,9]上的值域为（    ） A．［－1,0] B． C．［0,2] D． 【答案】B 【解析】解法一：因为幂函数的图象过点 ，所以，可得，所以，．因为，所以，故．因此，函数在区间[1,9]上的值域为． 故选：B． 解法二：因为幂函数的图象过点，所以，可得， 所以．因为，所以．因为， 所以，所以，解得，即函数在区间[1,9]上的值域为． 故选：B． 9．（全国·高一专题练习）已知幂函数在区间上是减函数． (1)求函数的解析式； (2)讨论函数的奇偶性和单调性； (3)求函数的值域． 【解析】（1）依题意，即，解得，因为，所以或或，所以或或 （2）若定义域为，则为奇函数，且在和上单调递减； 若定义域为，则为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减； 若定义域为