专题09 函数的奇偶性-2023-2024学年高一数学【考点精析+真题精讲+题型突破+专题精练】（人教A版2019必修第一册）

2023-2024高一数学必修第一册 专题09函数的奇偶性 №考向解读 ➊考点精析 ➋真题精讲 ➌题型突破 ➍专题精练 第三张章函数的概念及性质 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 专题09函数的奇偶性 →➊考点精析← 1 函数奇偶性的概念 ① 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数. ② 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数. 由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的. 2 性质 ① 偶函数关于轴对称； ② 奇函数关于原点对称； ③ 若奇函数定义域内含有，则； ④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数． 3．奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数． （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数． 4．用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性． 若，则是奇函数； 若=，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且，则既是奇函数，又是偶函数 5 判断函数奇偶性的方法 ① 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数. ② 数形结合 若函数关于原点对称，则函数是奇函数；若函数关于轴对称，则函数是偶函数. ③ 取特殊值排除法(选择题) 比如：若根据函数得到，则排除是偶函数. ④ 性质法 偶函数的和、差、积、商(分母不为)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为)仍为奇函数； 奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为)为偶函数； 一个奇函数与偶函数的积为奇函数. 对于复合函数的奇偶性如下图 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 6关于函数奇偶性的常见结论 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． →➋题型突破← 【题型一】对函数奇偶性概念的理解 角度1 函数奇偶性的概念 1．（2023·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A：定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误； 对于B：定义域为，则，即为偶函数，故B错误； 对于C：定义域为，则，故为奇函数，故C正确； 对于D：定义域为，则，所以为偶函数，故D错误； 故选：C 2.已知是定义在上的偶函数，那么的值是 . 【解析】依题意得，， 又(奇偶函数的定义域关于原点对称)， ，． 3. 是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是________： 【解析】根据奇函数的定义可知，则(1)，(2)正确； 对于故正确； 对于是定义在上的奇函数，则则(4)不正确，故答案为：. 角度2 判断函数的奇偶性 情况1 具体函数的奇偶性判断 4.函数的图象关于 对称． 【解析】要使函数有意义，则，即， 解得或，则定义域关于原点对称． 此时，则函数，(化简函数形式很重要) ， 函数是奇函数，图象关于原点对称， 【点拨】本题利用定义法判断函数的奇偶性，首先判断定义域是否关于原点对称，这点很重要； 5.（2023·湖北·华中师大一附中高一开学考试）已知函数. (1)若，判断的奇偶性并加以证明. (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）， 当时，，定义域为R，此时，