专题08 函数的单调性-2023-2024学年高一数学【考点精析+真题精讲+题型突破+专题精练】（人教A版2019必修第一册）

2023-2024高一数学必修第一册 专题08函数的单调性 №考向解读 ➊考点精析 ➋真题精讲 ➌题型突破 ➍专题精练 第三张章函数的概念及性质 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 专题08函数的单调性 →➊考点精析← 1 函数单调性的概念 一般地，设函数的定义域为，区间: 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(图①).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(图②).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 特别注意它的减区间是，不是. 2 单调性概念的拓展 ① 若递增，，则. 比如：递增，则. ② 若递增，，则. 比如：递增则. 递减，有类似结论！ 3 判断函数单调性的方法 ① 定义法 解题步骤 (1) 任取，且； (2) 作差； (3) 变形(通常是因式分解和配方)； (4) 定号(即判断差的正负)； (5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)． ② 数形结合 ③ 性质法 增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数； 但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是. ④单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，． ⑤ 复合函数的单调性 (1)如果则称为的复合函数； 比如： (和的复合函数)； (和的复合函数)； (和的复合函数). (2) 同增异减 设函数的值域是，函数 若在各自区间单调性相同，则复合函数在区间上递增； 若在各自区间单调性不同，则复合函数在区间上递减. 4．利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论： （1）如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值． （2）如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值． 若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值． （3）若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是． （4）若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是． 5．利用函数单调性求参数的范围 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． （1）在上恒成立在上的最大值． （2）在上恒成立在上的最小值． 实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题． 6基本初等函数的单调性 ①．正比例函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． ②．一次函数 当时，函数在定义域R是增函数；当k<0时，函数在定义域R是减函数． ③．反比例函数 当时，函数的单调递减区间是，不存在单调增区间； 当时，函数的单调递增区间是，不存在单调减区间． ④．二次函数 若，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数； 若，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数． 7 函数的最值 ①最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作． ②最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作． ③几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个． →➋题型突破← 【题型一】对函数单调性的理解 1.函数在是增函数，若，则有 ( ) 【解析】 又函数在上是增函数， 故选. 2．（2023·全国·高一课时练习）已知定义在（0，）上的函数满足：对任意正数a､b，都有，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A．是增函数，且 B．是増函数，且 C．是减函数，且 D．是减函数，且 【答案】D 【解析】法一：取，满足题干条件，则是减函数，且； 法二：当时，.设，则，由已知，. 所以，即，所以是减函数， 故选：D. 3．（2023·全国·高一课时练习）下列有关函数单调性的说法，不正确的是（    ） A．若为增函数，为增函数，则为增函数 B．若为减函数，为减函数，则为减函数 C．若为增函数，为减函数，则为增函数 D．若为减函数，为增函数，则为减函数 【答案】C 【解析】根据不等量的关系，两个相同单调性的函数相加单调性不变， 选项A,B正确； 选项D: 为增函数，则为减函数， 为减函数，为减函数，选项D正确； 选选C:若为增函数，为减函数， 则的增减性不确定. 例如为上的增函数，当时， 在上为增函数； 当时，在上为减函数， 故不能确定的单调性. 故选:C