专题06 线段与角的等量代换模型-2023-2024学年七年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题06 线段与角的等量代换模型 等量代换是数学变形的最常见方式之一,它以处理问题步骤简捷、巧妙灵活,给人留下深刻的印象。运用它来解决中学代数和几何的有关问题（本专题主要涉及线段与角度的代换）,还可以避免繁杂运算,具有计算量小的独特优点,因此有着广泛的应用。 模型1. 线段与角度的等量代换模型 【模型解读】“等量代换”是在数学几何中常用的一种推理证明方法，应用于角度或线段相等关系的推导。 1）线段的等量代换 条件：如图，已知：EG=HF； 结论：EH=GF. 2）角度的等量代换 （图中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4） 条件1：如图，已知∠AOB=∠DOC；结论：∠1=∠2. 条件2：如图，已知∠AOB=∠DOC=90°；结论：∠1=∠2，∠3+∠4=180°. 利用等量代换我们还可以推导三个重要的性质： ①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的补角相等；③对顶角相等； 例1．（2023秋·北京平谷·七年级统考期末）如图，点C，D在线段上，若，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）如图，，是线段上两点，，分别是线段，的中点，下列结论：①若，则 ②若，则 ③④其中正确的结论是（    ） A．① ② ③ B． ③ ④ C．① ② ④ D． ① ② ③ ④ 例3．（2023·福建三明·七年级统考期末）如图，B、C是线段上两点，且，若，，那么大小为（    ） A．3 B．7 C．10 D．13 例4．（2023·湖北黄石·七年级统考期末）如图，顺次为线段上的两点，是的中点，则的值是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 例5．（2023秋·广东七年级期中）已知：如图所示，则(　　) A． B． C． D．与的大小无法比较 例6．（2023秋·安徽安庆·七年级校联考期末）如图所示，已知，，则的度数是　　 A． B． C． D． 例7．（2023春·北京·七年级月考）如图，已知，，则与的关系是（    ） A．大 B．大 C．相等 D．无法确定 例8．（2023秋·湖南长沙·七年级统考期末）已知且，则，依据是（    ） A．等角的补角相等 B．同角的补角相等 C．等量代换 D．补角的定义 例9．（2023·安徽铜陵·七年级统考期末）如图，，下列结论：其中正确的是（　　） A． B． C． D． 例10．（2023.黑龙江省哈尔滨市七年级期末）如图，已知．    (1)试说明：；(2)若平分，，，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，，当，时，请正确画出图形，并直接写出的度数． 例11．（2023.河北省邢台市七年级期末）已知，平分，平分． (1)如图1，当，重合时，求的度数；(2)如图2，当在内部时，若，求的度数；(3)当和的位置如图3时，求的度数．    例12．（2023春·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习）已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． (1)如图1，，，与的数量关系是：________． (2)如图2，，，与的数量关系是：________． (3)由（1）（2）你得出的结论是：如果________，那么________________． (4)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少，求这两个角度数． 例13．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）填空： 已知：如图，、相交于点． 求证： 证明：∵，（______） ∴______．（等式性质） 同理可得：______ 又∵，（______） ∴，（等量代换） 课后专项训练 1．（2023·山西大同·七年级统考期末）如图，线段AB上有C，D两点，其中D是BC的中点，则下列结论一定正确的是（   ） A．AB－AC＝BD B．CD＋BD＝AC C．CD＝AB D．AD－AC＝DB 2．（2023·山东聊城·七年级统考期中）如图，AC>BD，比较线段AB与线段CD的大小（    ） A．AB＝CD B．AB>CD C．AB＜CD D．无法比较 3．（2023.江苏镇江七年级期末）如图所示，B，C是线段上任意两点，M是的中点，N是的中点，若，，则的长度是（　　） A． B． C． D．以上都不对 4．（2023·山西·七年级统考阶段练习）如图，点 M，N，P 分别是线段 AN，AB，NB 的中点，则下列说法正确的是（  　 ） A．点 N 是线段 AP 的中点 B．点 N 是线段 BM 的中点 C．线段 BM 是线段 NP 的 3 倍 D．线段 AP 是线段 NB 的 2 倍 5．（2023秋·福建宁德·七年级校考期末）如图所示，C、D是线段AB上两点，若AC=3cm，C为AD中