第01讲 线段、射线、直线，比较线段的长短（重难点突破）-【冲刺满分】2023-2024学年七年级数学上册重难点突破+分层训练同步精讲练（北师大版）

第01讲 线段、射线、直线，比较线段的长短（重难点） 【知识点一、线段、射线、直线的概念及表示方法】 1.概念：绷紧的琴弦、黑板的边沿都可以近似地看作线段，如果把“线段”作为最简单、最基本原始概念，则用“线段”定义射线和直线如下： （1）将线段向一个方向无限延长就形成了 . （2）将线段向两个方向无限延长就形成了 ．说明：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）勾股定理的一些变式：，， . 【说明】 （1）线段有两个端点，可以度量，可以比较长短． （2）射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小. （3）直线是向两方无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小. （4）线段、射线、直线都没有粗细． 2.表示方法：如图1、图2、图3，线段、射线、直线的表示方法都有 ：它们都可以用两个大写字母表示，也可以一个小写字母表示. 【说明】 （1）从表示方法上看，虽然它们都可以用一个小写字母表示，也可以用两个大写字母表示，但直线取得是直线上任意两点的字母，线段用的是两个端点的字母，射线用的是一个端点和任意一点的字母，而直线和线段的两个大写字母没有顺序之分，但射线的两个大写字母有顺序之分，第一个大写字母必须是表示端点.即端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如下图4中射线OA，射线OB是不同的射线； 图4 端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如下图5中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 图5 （2）表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样． 3.线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图示 表示方法 线段AB或线段a 射线OA或射线a 直线AB或直线a 端点 两个 一个 无 长度 可度量 不可度量 不可度量 延伸性 不向两方延伸　 向一方无限延伸 向两方无限延伸 【知识点二、基本性质】 1. 直线的性质：经过 有且只有一条直线．简单说成：两点确定一条 ． 【说明】 （1）点和直线的位置关系有两种： ①点在直线上，或者说直线经过这个点.如图6中，点O在直线l上，也可以说成是直线l经过点O； ②点在直线外，或者说直线不经过这个点.如图6中，点P在直线l外，也可以说直线l不经过点P. （2）两条不同的直线相交只有一个交点. 2.线段的基本性质：两点的所有连线中，线段 ．简记为：两点之间，线段最短． 如图7所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的． 图7 【说明】 （1）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （2）两条线段可能无公共点，可能有一个公共点，也可能有无穷多个公共点. 【知识点三、比较线段的长短】 1. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段 已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段 已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 【说明】 几何中连结两点，即画出以这两点为端点的线段. 2.线段的比较： （1）度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短． （2）叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图： 3.线段的 ：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的 ．如下图，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC． 【说明】 若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． (一) 相关概念 例1．下列说法正确的是（    ） A．两点之间的线段叫做两点间的距离 B．若，则为线段的中点 C．两点之间线段最短 D．射线可以比较长短 【变式训练1-1】、延长线段到点，下列说法正确的是（　　） A．点在线段上 B．点在直线上 C．点不在直线上 D．点在直线的延长线上 【变式训练1-2】、下列说法错误的是（    ） A．直线与直线是同一条直线 B．线段与线段是同一条线段 C．射线与射线是同一条射线 D．射线与线段都是直线的一部分 (二)有关条数及长度的计算 例2．C为线段延长线上的一点，且，则为的（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】、点C是线段上的三等分点，E是线段的中点，若，则的长为（    ） A．18或36 B．24 C．36 D．24或48 【变式训练2-2】、如图，，C为的中点，点D在线段上，且，则的长度为（    ） A．4 B