24.3正多边形与圆-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精讲精练（人教版）

九年级上册数学《第二十四章 圆》 24.3 正多边形和圆 知识点一 正多边形的相关概念 1、正多边形的概念： 名称 定义 正多边形 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形. 正多边形的外接圆 一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆. 中心 正多变形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心. 半径 外接圆的半径叫做正多边形的半径. 边心距 内切圆的半径叫做正多边形的边心距. 中心角 正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角. 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆. ◆2、正多边形的判定： 一个多边形必须同时满足各边相等，各角也相等才能判定其是正多边形，两个条件缺一不可，如菱形的各边相等，但各角不一定相等，矩形的各角相等，但各边不一定相等，因此它们不是正多边形. ◆3、正多边形的对称性： 正n边形（n≥3，n为整数）都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都交于一点，当n 为偶数时，正n边形为中心对称图形，它的中心就是对称中心. 知识点二 正多边形的有关计算 名称 公式 内角 中心角 外角 正n边形的边长a，半径R，边心距r 周长C C= n a 面积S S=a r·n=Cr 知识点三 正多边形的画法 ◆1、正多边形的画法：把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得到的多边形是这个圆的内接 正多边形. ◆2、等分圆周的方法： （1）用量角器画一个等于 的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的n个等分点； （2）顺次连接各等分点. 题型一 正多边形的相关概念 【例题1】下列命题正确的是（　　） A．各边相等的多边形是正多边形 B．正多边形一定是中心对称图形 C．各角相等的圆内接多边形是正多边形 D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径 解题技巧提炼 根据正多边形的相关概念进行判断即可，正n边形（n≥3，n为整数）都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都交于一点，当n 为偶数时，正n边形为中心对称图形. 【变式1-1】下列说法中，错误的是（　　） A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心 B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径 C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距 D．正多边形的外接圆的圆心角，就是它的中心角 【变式1-2】下列关于正多边形的叙述，正确的是（　　） A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B．存在一个正多边形，它的外角和为720° C．任何正多边形都有一个外接圆 D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形 【变式1-3】（2023秋•鼓楼区校级月考）下列说法正确的有（　　）个． （1）相等的圆周角所对的弧一定是等弧； （2）边长相等的圆内接多边形一定是正多边形； （3）平分一条弦的直径必然垂直这条弦； （4）在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角一定相等． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-4】正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角的关系是　　 A ． 相等 B ． 互余 C ． 互补 D ． 互余或互补 题型二 正多边形与圆中求角度 【例题2】一个正多边形的每个外角都等于30°，那么这个正多边形的外接圆中，它的一条边所对的圆心角为（　　） A．15° B．60° C．45° D．30° 解题技巧提炼 1、正多边形的每个内角=. 2、正多边形的中心角= 3、正多边形的每个外角= 【变式2-1】（2022春•新昌县期末）如图，在同一平面内，将边长相等的正六边形、正方形的一边重合，则∠1的度数为（　　） A．18° B．25° C．30° D．45° 【变式2-2】（2023•金牛区模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连结OA、AC，则∠OAC的大小是（　　） A．18° B．24° C．30° D．36° 【变式2-3】（2022•文登区一模）如图，正五边形ABCDE内接于圆，连接AC，BE交于点F，则∠CFE的度数为（　　） A．108° B．120° C．135° D．144° 【变式2-4】（2022•沈阳模拟）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F为⊙O上一点，则∠EFC的度数为（　　） A．36° B．45° C．60° D．72° 【变式2-5】（2022秋•安徽期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，PD与⊙O相切于点D，连接OE并延长，交PD于点P，则∠P的度数是（　　） A．36° B．28° C．20° D．18° 【变式2-6】（2023•内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是