24.1.2 垂直于弦的直径（讲+练，6大题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（人教版）

24.1.2 垂直于弦的直径 1.了解圆及弦、弧(劣弧、优孤)圆心角、圆周角、等圆、等弧、圆内接多边形等有关概念 2.通过观察实验,认识圆的对称性,理解圆既是轴对称图形又是中心对称图形 3.掌握垂径定理及其推论,能运用垂径定理及其推论解决实际问题 4.掌握弧、弦、圆心角之间的关系,并能运用这些关系解决有关问题 5.掌握圆周角定理及其推论,并能进行相关的证明和计算 知识点一 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴 知识点二 垂径定理及其推论 1.垂径定理 （1）文字语言：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 （2）符号语言： 2.垂径定理的推论 （1）文字语言：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 （2）符号语言： 3.拓展 （1）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧，符号表示为： （2） 弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧，符号表示为： 4. 归纳 对于一个圆和一条直线,如果具备下列五个条件中的任意两个,那么定具备其他三个: ①过圆心;②垂直于弦;③平分弦(非直径);④平分弦所对的劣弧;⑤平分弦所对的优弧，简记为“知二推三 即学即练1 （2023·湖南长沙·统考一模）如图，是半圆O的直径，，为弦，于D，交半圆O于点E，于F，若，则的长为 ． 即学即练2 （2023秋·江苏连云港·九年级校联考阶段练习）已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）． （1）求证：AC=BD； （2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长． 题型一 利用垂径定理求值 例1（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）在中，直径为，弦的长为，则圆心O到的距离为 ． 举一反三1（2023·北京海淀·校考模拟预测）如图，在半径为5的中，，则 ． 举一反三2（2023·安徽滁州·校考二模）如图，直线与相交于，两点，且与半径垂直，垂足为，已知，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 题型二 利用垂径定理求平行弦 例2（2023秋·天津和平·九年级校考期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 举一反三1（2023秋·湖北恩施·九年级期末）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 举一反三2（2023秋·广东广州·九年级校考期末）如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 题型三 利用垂径定理求同心圆问题 例3（2022秋·北京·九年级北师大实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 举一反三1（2022春·湖南长沙·九年级长沙市怡雅中学校考开学考试）如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为 ． 举一反三2（2019秋·浙江台州·九年级统考期末） 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm 题型四 利用垂径定理求解其他问题 例4（2023·江苏盐城·统考二模）已知：如图，是的直径，点C在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）．    (1)如图①，若M是半圆的中点，且与C点在同侧，画出的平分线．并说明理由； (2)如图②，若，画出的平分线． 举一反三1（2023春·江西南昌·九年级统考期末）如图，是半圆O的弦，过圆心O，过O作于点D．若，则 cm．    举一反三2（2023·四川乐山·统考中考真题）已知是抛物（b为常数）上的两点，当时，总有 (1)求b的值； (2)将抛物线平移后得到抛物线． 探究下列问题： ①若抛物线与抛物线有一个交点，求m的取值范围； ②设抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点E，外接圆的圆心为点F，如果对抛物线上的任意一点P，在抛物线上总存在一点Q，使得点P、Q的纵坐标相等．求长的取值范围． 题型五 垂径定理的推论 例5（2023春·吉林长春·九年级校考期中）下列命题中是真命题的是（    ） A．确定事件发生的概率为1 B．平分弦的直径垂直于弦 C．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等 D．正多边形都是轴对称图形 举一反三1（2023·广东深圳·模拟预测）