上海市南洋模范中学2024届高三上学期10月月考数学试题

南洋模范2023学年第一学期高三年级数学10月月考 一、填空题（本大题共有12题，4'*6+5'*6=54'） 1. 设集合，，则=_______； 2. 若要用反证法证明“对于三个实数、、，若，则或”，应假设 _____． 3. 空间向量的单位向量的坐标是__________． 4. 已知点是角其终边上一点，若，则______ 5. 已知且，则最小值是_________． 6. 已知的展开式中的第4项为常数项，若从展开式中任意抽取一项，则该项的系数是偶数的概率为______ 7. 已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为____________． 8. 已知函数，将的图像向左平移个单位后得到函数的图像．若图像上各最高点到点的距离的最小值为1，则的值为_____________． 9. 等腰三角形一腰的中线长为，则该三角形面积的最大值为______________ 10. 直线与半圆交于A、B两点，设的倾斜角是，则_______ 11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是数学史上第一位重视概念的人，并且有意识地“以概念代替直觉”，以其名命名的函数狄利克雷函数，现定义一个与狄利克雷函数类似的函数 “函数”，则关于狄利雷函数和函数有以下四个结论： （1）； （2）函数是偶函数； （3）函数图象上存在四个点，使得四边形为菱形； （4）函数图象上存在三个点，使得为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是__________． 12. 已知函数在上恒取正值.则实数的取值范围是_______. 二、选择题（本大题共有4题，4'*2+5'*2=18'） 13. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ） A. 的平均数等于的平均数 B. 的中位数等于的中位数 C. 标准差不小于的标准差 D. 的极差不大于的极差 14. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压，下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60-90 混合动力汽车 10 50-60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别，，，则（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 16. 已知数列满足，则（ ） A. 当时，递减数列，且存在常数，使得恒成立 B. 当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 C. 当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 D. 当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 三、简答题（本大题共有5题，14"3+18'*2=78'） 17. 如图，在正方体中，棱长为2，M、N分别为、AC中点． （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的大小． 18. 在中，角、、所对的边分别为、、，且满足. （1）求角； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 19. 已知数列满足：，． （1）求证是等比数列，并求数列的通项公式； （2）求使不等式成立的所有正整数m，n的值． 20. 已知两定点，，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线与曲线E交于A，B两个不同的点. （1）求曲线E的方程； （2）求实数k的取值范围； （3）如果，且曲线E上存在点C，使，求m的值和的面积． 21. 已知，. （1）求函数的单调区间； （2）①容易证明对任意的都成立，若点的坐标为，、为函数图像上横坐标均大于1的不同两点，试证明：； ②数列满足，，证明：. 南洋模范2023学年第一学期高三年级数学10月月考 一、填空题（本大题共有12题，4'*6+5'*6=54'） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】且成立 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】4 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】（1）（4） 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共有4题，4'*2+5'*2=18'） 【13题答案】 【答案】BD 【14题答案】 【答案】D 【15题答案】 【答案】A 【16题答案】 【答案】B 三、简答题（本大题共有5题，14"3+18'*2=78'） 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）30° 【18题答案】 【答案】（1）或 （2） 【19题答案】 【答案】（1）， （2）或或 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3），面积为. 【21题答案】 【