精品解析：北京市顺义牛栏山第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试卷

牛栏山一中2023—2024学年第一学期10月月考 高二数学 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，四个选项中只有一是符合题目．） 1. 在空间直角坐标系中，已知点，则线段的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点，点，则点关于点的对称点坐标是（ ） A B. C. D. 3. 经过点，且倾斜角为的直线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 直线x+（m+2）y﹣1＝0与直线mx+3y﹣1＝0平行，则m值为（　　） A. ﹣3 B. 1 C. 1或﹣3 D. ﹣1或3 5. 如图，空间四边形中，，点为中点，点在侧棱上，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 给出下列命题： ①经过点的直线都可以用方程表示； ②若直线的方向向量，平面的法向量，则； ③直线必过定点； ④如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线． 其中真命题的个数是（ ） A 3 B. 2 C. 1 D. 0 8. 已知空间三点，，，在直线上有一点满足，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是线段上的点，是直线上的点，满足平面，且不是正方体的顶点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 11. 直线的倾斜角为______． 12. 已知点到直线的距离为2，则________． 13. 已知向量共面，则________． 14. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．在堑堵中，若，点是直线上的动点，则到直线的最短距离是________． 15. 在正方体中，点分别是的中点． ①； ②与所成角为； ③平面； ④与平面所成角的正弦值为． 其中所有正确说法的序号是________． 三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤．） 16. 已知直线与直线交于点P． （1）直线过点且平行于直线，求直线方程；（结果写成一般式） （2）直线与轴交于与轴交于点，请在直角坐标系中画出两条直线，求中边上的高线所在的直线方程． 17. 已知长方体中，是中点． （1）求直线与所成角的余弦值； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. （1）直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （2）直线过点且与轴正半轴分别交于两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 19. 已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，分别是的中点． （1）求证：⊥平面； （2）已知点是线段上的动点，并且到平面的距离是，求线段的长． 20. 如图，在直棱柱中，底面是菱形，，分别是棱的中点． （1）求证：平面； （2）若二面角的大小是，求值，并求直线与平面所成角的正弦值． 21. 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“平衡集”． （1）判断集合是否是“平衡集”并说明理由； （2）求证：若集合是“平衡集”，则集合中元素的奇偶性都相同； （3）证明：四元集合，其中不可能“平衡集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 牛栏山一中2023—2024学年第一学期10月月考 高二数学 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，四个选项中只有一是符合题目．） 1. 在空间直角坐标系中，已知点，则线段的长度为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据距离公式计算即可. 【详解】. 故选：A. 2. 在空间直角坐标系中，点，点，则点关于点的对称点坐标是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据中点坐标公式即可得结果. 【详解】设点关于点的对称点坐标， 由中点坐标公式可得，解得，即， 故选：B. 3. 经过点，且倾斜角为的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角求斜率，应用点斜式求直线方程. 【详解】由题设，直线斜率为，又过， 所以，直线方程为（或）. 故选：D 4. 直线x+（m+2）y﹣1＝0与直线mx+3y﹣1＝0平行，则m的值