专题02 二次函数存在性问题训练2（等边三角形和等腰直角三角形精选30道）-2023-2024学年九年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（浙教版）

专题02 二次函数存在性问题训练2 （等边三角形和等腰直角三角形精选30道） 【类型一 等边三角形】 1．已知抛物线经过点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图2，设点是对称轴左侧该抛物线上的一点，点在对称轴上，当为等边三角形时，请直接写出符合条件的直线的函数表达式． 2．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A；点F在y轴上，直线与y轴交于点H． (1)求二次函数的解析式； (2)点P是抛物线上的点，过点P作x轴的垂线与直线交于点M，求证：； (3)当是等边三角形时，求P点的坐标． 3．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（－1，0），B（3，0），直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点D，且△ABD的面积为10． (1)求抛物线和直线AC的函数表达式； (2)若抛物线上的动点E在直线AC的下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△BPQ为等边三角形时，求直线AP的函数表达式． 4．在平面直角坐标系中，抛物线）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线的顶点为D． (1)求该抛物线的对称轴及点A、B的坐标； (2)当时，如图1，连接AD，BD，是否存在实数a，使ABD为等边三角形？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由； (3)当时，如图2，点P是该抛物线上一动点，且位于第三象限，连接AP，直线PO交AC于点Q，APQ和OCQ的面积分别为和，当的值最大时，求直线PO的解析式． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)． （1）求抛物线的解析式及对称轴； （2）如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标； （3）点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛物线的对称轴上，当BMN为等边三角形时，请直接写出点M的坐标． 6．如图，已知二次函数的图像与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接． （1）线段______； （2）若平分，求m的值； （3）该函数图像的对称轴上是否存在点P，使得为等边三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 7．已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）． （1）求点A，B的坐标． （2）若将抛物线向右平移m个单位，记为与交于点F，交x轴于点D，E，点D在线段上（点D不与点A、B重合）．当为等边三角形时，求m的值． 8．已知地物线 与轴交于点，点在该抛物线上 （1）若抛物线的对称轴是直线，请用含的式子表示； （2）如图1，过点作轴的垂线段，垂足为点．连结和，当为等边三角形时，求抛物线解析式； （3）如图2，在（2）条件下，已知为轴上的一动点，连结和，当时，求满足条件的点的坐标． 9．如图，二次函数与轴交于A(-，0)，B（A在B左边），与y轴交于点C，对称轴为直线=． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，若点D是抛物线上对称轴上一点，E是抛物线上第一象限内一点，若是等边三角形，求E点坐标． （3）如图2，点P是抛物线上一点，直线BP，AP分别交y轴于M，N两点，求的值． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．点P为抛物线对称轴上一点． （1）若点（m，4）在抛物线上，则代数式m2﹣2m的值是　 　； （2）连接PC、PB，当∠PCB＝∠PBC时，求点P的坐标； （3）以BP为边在BP的下方作等边三角形△BPQ，当点P从点D运动到点E的过程中，求出点Q经过路径的长度是多少？    11．已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，2)，C(，0)三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒． (1)求抛物线的解析式； (2)当BQ=AP时，求t的值； (3)随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由． 12．已知抛物线y=14x2+1(如图所示). (1)填空：抛物线的顶点坐标是(___,___)，对称轴是___； (2)已知y轴上一点A(0,2)，点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标； (3)在(2)的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形?若存在，直接写