专题01 二次函数存在性问题训练1（等腰三角形和直角三角形精选30道）-2023-2024学年九年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（浙教版）

专题01 二次函数存在性问题训练1 （等腰三角形和直角三角形精选30道） 【类型一 存在性等腰三角形】 1．如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与轴交于点C．    (1)在抛物线的对称轴上找一点D，使最短，求出D点坐标； (2)P是y轴正半轴上一点，且是以为腰的等腰三角形，试求P点坐标． 2．抛物线与轴交于和两点，与轴交于点.    (1)求此抛物线解析式； (2)如图1，为线段上一点，作交抛物线于，的长度最大时，求点的坐标； (3)如图2，为射线上一点，在抛物线上，、均位于轴上方，且使，当为等腰三角形时，求点坐标. 3．如图，抛物线交轴于点、(点在点的左侧)，与轴交于点，点、的坐标分别为，，对称轴交轴于，点为抛物线顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方的抛物线上一点，且．求的坐标； (3)为抛物线对称轴上一点，是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．    (1)求此二次函数的解析式； (2)设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图1中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图中探索）． 5．如图1，已知二次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点B，C，点C坐标为，连接、． (1)请直接写出二次函数的表达式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)如图2，若点N在线段上运动(不与点B，C重合)，过点N作，交于点M，当面积最大时，求此时点N的坐标； (4)若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标． 6．如图甲，直线与x轴、y轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．    (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形为等腰三角形若存在，请求出所符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值（图乙、丙供画图探究），并求出最大面积及点的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点M，且点M的横坐标为1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．    (1)求线段的长度； (2)如图1，连接，点P为直线上方抛物线上（不与B、M重合）的一动点，过点P作轴，交直线点E，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点N，新抛物线与原抛物线交于点H，G为原抛物线对称轴l上一点，当以G、N、H为顶点的三角形是等腰三角形时，求出点G的坐标并写出求解过程． 8．如图1，已知二次函数的图象与y轴交于点A．与x轴交于点B，C，连接、．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)如图2，过点B作交抛物线于点N，点M为抛物线上位于上方一点，求四边形面积的最大值及此时点M的坐标； (3)如图3，将抛物线沿着射线平移个单位，若点P为新抛物线对称轴上一点，当以点A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点P的坐标． 9．如图甲，直线与轴、轴分别交于点、点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．    (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，在抛物线上求一点，使的面积有最大值（图乙、丙供画图探究），并求出最大面积及点的坐标． (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出所符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，E为边上的一动点，F为边上的一动点，D点坐标为，求周长的最小值； (3)如图2，N为射线上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线的同侧，若M到x轴的距离为d，面积为，当为等腰三角形时，求点N的坐标． 11．定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图①，抛物线与抛物线组成一个开口向下的“月牙线”，抛物线与抛物线与x轴有相同的交点M，N（点M在点N左侧），与y轴的交点分别为点，．    (1)求出点M，N的坐标和抛物线的解析式； (2)点P是x轴上方抛物线上的点，过点P作轴于点E，交抛物线于点Q，试证明：的值为定值，并求出该定值； (3)如图②，点D是点B关于抛物线对称轴的对称点，连接，在x轴上是否存在点F，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不