第五章 函数概念与性质（压轴题专练）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（苏教版2019必修第一册）

第五章 函数概念与性质（压轴题专练） 题型一　判断或证明函数的单调性 【例1】已知函数f(x)＝． (1)求f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义加以证明． 思维升华 利用定义证明函数单调性的步骤： (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2； (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式； (3)定号：确定f(x1)－f(x2)的符号； (4)结论：根据f(x1)－f(x2)的符号与定义确定单调性． 巩固训练 1．证明函数f(x)＝x＋在区间(2，＋∞)上是增函数． 题型二　由单调性比较大小 【例2】已知f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，a，b∈R，且a＋b≤0，则有(　　) A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b) B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b) C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b) D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b) 思维升华 利用单调性比较大小的方法 (1)利用函数单调性可以比较函数自变量(函数值)的大小，例如：已知f(x)在区间D上为增函数，则对x1，x2∈D，x1<x2⇔f(x1)<f(x2)． (2)利用单调性比较函数值的大小，务必将自变量x的值转化到同一单调区间上才能进行比较，最后写结果时再还原回去． 巩固训练 1．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的x都有f(2＋x)＝f(2－x)，则f(1)，f(2)，f(4)的大小关系为________________(用“>”号连接)． 题型三　由单调性求参数 【例3】　若函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为(　　) A． B． C． D．∪ 思维升华 已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数． 巩固训练 1．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f(m＋2)<f(2)，则实数m的取值范围是________． 2．已知函数f(x)＝是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是(　　) A．[0，＋∞) B． C． D．(－∞，0)∪ 题型四　利用单调性解不等式 【例4】已知函数y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，求实数a的取值范围． 思维升华 利用函数的单调性解不等式的方法 当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”脱掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域． 巩固训练 1．已知函数f(x)为定义在区间[－1，1]上的增函数，则满足f(x)<f的实数x的取值范围是________． 2．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，－3) B．(0，＋∞) C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞) 题型五 　利用单调性求最值 【例5】已知函数f(x)＝x＋． (1)求证f(x)在[1，＋∞)上是增函数； (2)求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值． 思维升华 1．利用单调性求最值： 首先判断函数的单调性；然后利用单调性写出最值． 2．函数的最值与单调性的关系： (1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)； (2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)． 巩固训练 1．已知函数f(x)＝，x∈[3，5]． (1)判断函数f(x)的单调性，并证明； (2)求函数f(x)的最大值和最小值． 题型六 　二次函数的最值 【例6】已知函数f(x)＝x2－ax＋1． (1)求f(x)在[0，1]上的最大值； (2)当a＝1时，求f(x)在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值． 思维升华 1．含参数的二次函数最值问题的解法 解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y＝a(x＋h)2＋k的形式，再依a的符号确定抛物线的开口方向，依对称轴x＝－h得出顶点的位置，再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值． 2．对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型： (1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值； (2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值； (3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数． 通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论． 巩固训练 1．已知二次函数f(x